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無條件收斂

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數學中,一個級數無條件收斂於一個特定值,是指對任意小的差別,都會存在中的一個子集,使得對所有的包含的集合,裏面的元素加起來的和與之間的差距都小於

集合可數集合的時候,無條件收斂等價於說「任意排列級數項的順序都會收斂」,具體來說。一個級數無條件收斂於一個特定值若且唯若對任意的從自然數到自然數的置換,級數都收斂。

是不可數的集合時,無條件收斂也稱為網收斂

定義

為一個拓撲向量空間為一個指標集,滿足對任意

級數被稱為無條件收斂的,如果:

  • 指標集可數集
  • 任意排列滿足下列關係:.

與絕對收斂的關係

無條件收斂是定義在裝備了距離賦范向量空間中定義的。在賦范向量空間中還有另外一類收斂,稱為絕對收斂。絕對收斂的定義是:一個級數絕對收斂,若且唯若實數列:

收斂。

對於通常的實數級數或複數級數,無條件收斂和絕對收斂是等價的。在一般的有限維的巴拿赫空間中,兩者也是等價的概念。而對於更一般的情況,絕對收斂能夠推出無條件收斂,但反之無條件收斂並不能推出絕對收斂。

參見

參考來源