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格羅滕迪克伽羅瓦理論

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數學中,格羅滕迪克伽羅瓦理論Grothendieck's Galois theory)是域的伽羅瓦理論的一種抽象方法,為代數幾何背景下研究代數拓撲基本群提供了一種方法,大約發展於1960年前後。格羅滕迪克伽羅瓦理論在經典域論背景下提供了一種不同於埃米爾·阿廷線性代數視角,後者在1930年代成為標準。

亞歷山大·格羅滕迪克的方法關注範疇論性質,是定投射有限群(profinite group)G的有限G集合範疇的特徵。例如,G可能是表為的群,是循環加性群逆極限,或等價於有限索引的子群拓撲的有限循環群Z的完備化。因此有限G集是有限集X,其上的G通過商有限循環群作用於X,從而通過給出X的某種置換來指定它。

在上面的例子中,通過把看做任意有限域FF上的代數閉包的投射有限伽羅瓦群,可以看出其與經典伽羅瓦理論的聯繫。即,當在F上取越來越大的有限分裂域時,固定F的自同構由逆極限描述。觀察去原點複平面單位圓盤覆疊空間時,就會發現其與幾何之間的聯繫:通過復變量z考慮,圓盤的映射實現的有限覆蓋對應去心圓盤基本群的子群n.Z

格羅滕迪克理論發表於SGA1,展示了如何從纖維函子重構G集範疇,在幾何情景中,纖維函子將覆蓋的纖維置於固定基點上(作為集合)。事實上,已證明有同構類型

後者是的自同構群(自自然等價)。我們給出範疇的抽象分類,其中給出到集合範疇的函子,這樣就可以識別G投射有限的G集範疇。

為了了解這如何應用於域的情形,必須研究域的張量積拓撲斯理論中,這是原子拓撲斯研究的一部分。

另見

參考文獻

  • Grothendieck, A.; et al. SGA1 Revêtements étales et groupe fondamental, 1960–1961. Lecture Notes in Mathematics 224. SpringerSphiwe Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-36910-3. arXiv:math/0206203可免費查閱. 
  • Joyal, André; Tierney, Myles. An Extension of the Galois Theory of Grothendieck. Memoirs of the American Mathematical Society. 1984. ISBN 0-8218-2312-4.