波向量

本條目中，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用

\mathbf {r} \,\!

表示；而其大小則用

r\,\!

來表示。四維向量用加有標號的斜體顯示。例如，

{x}^{\mu }\,\!

或

{x}_{\mu }\,\!

。為了避免歧意，四維向量的斜體與標號之間不會有括號。例如，

(x)^{2}\,\!

表示

x\,\!

平方；而

{x}^{2}\,\!

是

{x}^{\mu }\,\!

的第二個分量。

波向量是波的向量表示方法。波向量是一個向量，其大小表示波數（ $k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$ ），其方向表示波傳播的方向。

波向量在狹義相對論背景下可定義為四維向量。

定義

正弦波波長λ可以通過測量相位相同的任意相鄰兩點間的距離得到，這兩點可以是相鄰的波峰、波谷或是如圖所示的零交點（英語：Zero crossing）。

波向量有兩種常見的定義，區別在於振幅因子是否乘以 $2\pi$ ，兩種定義分別用於物理學和晶體學以及它們的相關領域。^[1]

理想的一維行波遵循如下方程式：

\psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )

其中：

此波在+x方向上行進，相速度為 $\omega /k$ 。

推廣到三維情況下，方程式為：

\psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\omega t+\varphi \right)

其中：

這一方程式描述了平面波。一維情況下，波向量的大小是角波數 $|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$ 。波向量的方向是平面波行進的方向。

在晶體學中，描述相同的波的方程式略有不同。^[2]在一維和三維情況下的方程式分別為：

\psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )

\psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)

。

不同點在於：

晶體學定義使用了頻率 $\nu$ ，而不是角頻率 $\omega$ ，由公式 $2\pi \nu =\omega$ ，二者可以相互轉換。這種置換主要反映了在晶體學中的常見應用。
波數k以及波向量k的定義方式不同。此處的 $k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda$ ，而在物理學定義中， $k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$ 。

接近單色光的波包可以由波向量

k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,

準確描述，若明確的改寫成共變和反變形式，則

k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k^{1},k^{2},k^{3}\right)\,

且

k_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{1},-k_{2},-k_{3}\right)\,

。

於是波向量的大小為

k^{2}=k^{\mu }k_{\mu }=k^{0}k_{0}-k^{1}k_{1}-k^{2}k_{2}-k^{3}k_{3}\,

={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-{\vec {k}}^{2}=0\,

最後一步等於零是因為對於真空中的光滿足

k={\frac {\omega }{c}}\,

對波向量作勞侖茲變換可導出相對論性都卜勒效應。勞侖茲矩陣定義為

\Lambda ={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}

。

在光被快速移動的波源激發的情況下，若要在地球坐標系（實驗室坐標系）中檢定光的頻率，就要使用勞侖茲變換，如下所示。注意波源位於坐標系S ^s，地球位於觀測系S ^obs。對波向量進行勞侖茲變換得到

k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,

。

只考慮 $\mu =0$ 分量的情況，得到

k_{s}^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\,

。

${\frac {\omega _{s}}{c}}\,$	$=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\,$
	$\quad =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta \,$ 其中 $\cos \theta \,$ 是 $k^{1}$ 關於 $k^{0}$ 的方向餘弦 $k^{1}=k^{0}\cos \theta$ 。