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等化子

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數學範疇論分支,若干個函數等化子(英語:equaliser)是使其值相等的參數的集合。換言之,兩個函數的等化子,是方程解集英語solution set。僅得兩個函數時,也稱為其差核,因為等於兩個函數之英語Kernel (category theory)

定義

集合。又設為從函數。則等化子中所有滿足的元素的集合,以符號表示為:

等化子可以表示成或類似的符號,如改成小楷。有時非正式地寫成

上述定義用到兩個函數,但其實不必限制為兩個函數,甚至不必為有限多個函數。一般而言,若是一族函數,從映向,則的元素的等化子,是使對所有皆相等的元素的集合。以符號表示:

可以寫成,則等化子亦記為。此情況下,亦可非正式地寫成

作為一般定義的退化,考慮單元集。由於必然等於自己,等化子等於整個定義域。更退化的情況下,設空集。則等化子仍為全個定義域,因為條件的全稱量化命題為空真命題英語vacuously true

差核

二元的等化子(即兩個函數的等化子)又稱差核(英語:difference kernel)。的差核可以記為。最後一種寫法表明名稱的由來,是兩個函數之差的,而且抽象代數中,該寫法亦最常用。此外,單一個函數的核,可以作為差核找到,其中表示取零值常數函數

以上假設核的意義如同抽象代數中,解作某函數作用下,原像,但在範疇論定義中,並不一定。

範疇論

等化子可以用泛性質定義,以將此概念從集合範疇推廣到任意的範疇

一般地,在任意範疇中,設為物件,而為自態射。此兩件物件及兩個態射組成該範疇的一幅,而的等化子,則是該圖表的極限

具體而言,等化子是物件與態射的整體,滿足,且對任意物件與態射,若有,則存在唯一的態射,使得

其中態射滿足的條件,即,又稱為等化(英語:equalise[1]

泛代數範疇,例如有定義差核的範疇,或集合範疇,物件總可以按原始定義(即)選取,而相應的態射則是作為子集包含映射

可以直接推廣到多於兩支態射的情況,只要用在圖中,添加更多支態射,然後再取極限便可。同樣,只有一支態射的退化情況也很直接,而可以取為任何由同構

但是,無態射的退化情況較為特殊,要較仔細畫出正確的圖。一開始,可能會嘗試畫出物件,然後不加任何態射。然而,此為不正確,因為該圖的極限,是範疇論積,而非所求的等化子(應為)。正確觀念是,等化子的定義,與定義域密切相關(例如在集合範疇的情況下,出現在定義式中),但與的關聯則僅在於是圖中態射的陪域。 所以,若無態射,則不必出現,故圖僅有。此圖的極限,是任何間的同構。

可以證明,任意範疇中的等化子,皆為單態射。反之,若逆命題成立,即單態射皆為某兩支態射的等化子,則該範疇(在單態射意義下)稱為正則(英語:regular)。更一般地,任意範疇中,正則單態射是某族態射的等化子。也有作者更嚴格,要求其為某兩個態射的二元等化子。然而,若所考慮的範疇完備英語complete category,則兩種定義一致。

範疇論中,也有差核的概念。術語「差核」在範疇論各處也常用作描述二元等化子。預可加範疇中(於阿貝爾群範疇英語Category of abelian groups濃縮英語enriched category的範疇,粗略而言,即每個態射集皆具阿貝爾群結構),「差核」一詞能逐字理解,因為兩支(相同端點的)態射之差有定義,即,其中表示範疇論核英語kernel (category theory)

若範疇有拉回(纖維積)及積,則有等化子。

參見

參考文獻

  1. ^ Barr, Michael; Wells, Charles. Category theory for computing science [電腦科學用的範疇論] (PDF). 1998: 266 [2013-07-20]. (原始內容 (PDF)存檔於2016-03-04) (英語). 

外部鏈結