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系統F

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系統F,也叫做多態lambda演算二階lambda演算,是有類型lambda演算。它由邏輯學家Jean-Yves Girard英語Jean-Yves Girard計算機科學家John C. Reynolds英語John C. Reynolds獨立發現的。系統F形式化了程式語言中的參數多態的概念。

正如同lambda演算有取值於(range over)函數的變量,和來自它們的粘合子(binder);二階lambda演算取值自類型,和來自它們的粘合子。

作為一個例子,恆等函數有形如A→ A的任何類型的事實可以在系統F中被形式化為判斷

這裏的α是類型變量英語type variable

Curry-Howard同構下,系統F對應於二階邏輯

系統F,和甚至更加有表達力的lambda演算一起,可被看作Lambda立方體的一部分。

邏輯和謂詞

布爾類型被定義為: ,這裏的α是類型變量。這產生了下列對布爾值TRUEFALSE的兩個定義:

TRUE :=
FALSE :=

接着,通過這兩個λ-項,我們可以定義一些邏輯算子:

AND :=
OR :=
NOT :=

實際上不需要IFTHENELSE函數,因為你可以只使用原始布爾類型的項作為判定(decision)函數。但是如果需要一個的話:

IFTHENELSE :=

謂詞是返回布爾值的函數。最基本的謂詞是ISZERO,它返回TRUE若且唯若它的參數是邱奇數 0:

ISZERO := λ n. nx. FALSE) TRUE

系統F結構

系統F允許以同Martin-Löf類型論有關的自然的方式嵌入遞歸構造。抽象結構(S)是使用構造子建立的。有函數被定類型為:

自身出現類型中的一個內的時候遞歸就出現了。如果你有個這種構造子,你可以定義為:

例如,自然數可以被定義為使用構造子的歸納數據類型

對應於這個結構的系統F類型是 。這個類型的項由有類型版本的邱奇數構成,前幾個是:

0 :=
1 :=
2 :=
3 :=

如果我們反轉curried參數的次序(比如),則的邱奇數是接受函數f作為參數並返回fn次冪的函數。就是說,邱奇數是一個高階函數 -- 它接受一個單一參數函數f,並返回另一個單一參數函數。

用在程式語言中

本文用的系統F版本是顯式類型的,或邱奇風格的演算。包含在λ-項內的類型信息使類型檢查直接了當。Joe Wells(1994)設立了一個"難為人的公開問題",證明系統 F的Curry-風格的變體是不可判定的,它缺乏明顯的類型提示。[1] [2]

Wells的結果暗含着系統F的類型推論是不可能的。一個限制版本的系統F叫做"Hindley-Milner",或簡稱"HM",有一個容易的類型推論算法,並用於了很多強類型函數式程式語言,比如HaskellML

參考文獻

  • Girard, Lafont and Taylor, 1997. Proofs and Types. Cambridge University Press.
  • J. B. Wells. "Typability and type checking in the second-order lambda-calculus are equivalent and undecidable." In Proceedings of the 9th Annual IEEE Symposium on Logic in Computer Science (LICS), pages 176-185, 1994. [3]頁面存檔備份,存於互聯網檔案館

外部連結