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反元素

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數學中,反元素(英語:inverse element)又稱逆元,可推廣加法中的反數乘法中的倒數

定義

S為一有二元運算 * 的集合。若e為(S,*)的單位元素a*b=e,則a稱為b左反元素b稱為a右反元素。若一元素x同時是y的左反元素和右反元素時,x稱為y兩面反元素或簡稱為反元素S內的一有兩面反元素的元素被稱為在S內為可逆的

正如(S,*)可以有數個左單位元素或右單位元素一般,一元素同時有數個左反元素或右反元素也是有可能的。甚至有可能有數個左反元素右反元素。

若其運算 * 具有結合律,則當一元素有一左反元素和一右反元素時,這兩個會是相同且唯一的。在這一情形之下,可逆元素的集合會是個,稱為S可逆元素群,且標記為U(S)或

例子

每一實數x都會有一加法反元素(即加法上的反元素)-x。每一非零實數x都會有一倒數(即乘法上的反元素)。此外,零沒有倒數。

一元素在一K內的方陣M為可逆的(在所有相同大小方陣的集合內,於矩陣乘法下)當且僅當行列式不等於零。若M的行列式為零,它便不可能會有一單面反元素,因此一單面反元素必為兩面反元素。更多詳情請參見逆矩陣

更一般地,一元素在一可交換環R內的方陣是可逆的當且僅當其行列式在R是可逆的。

一函數g是一函數f的左(右)反元素(在複合函數之下),當且僅當當)為f定義域對應域)上的恆等函數。在這一例子裏,一函數有右反元素而無左反元素,或許相反,是很常見的。

另見