在數學中,域
上的雙代數是兼具
上之結合代數(具單位元)與餘代數的結構,而且這兩種結構彼此相容。最重要的特例之一是霍普夫代數。
定義
相容性意味着餘乘法與餘單位元都是單位結合代數的同態,這也等價於乘法及單位元是餘代數之同態,因為兩者由相同的交換圖刻畫。
由單位圖表的對稱性,也可導出下述事實:如果
是雙代數,而且
具有良好的對偶空間
(例如當
維度有限時),則
也帶有自然的雙代數結構。
圖表
定義中的相容性由以下交換圖給出:
乘法與餘乘法相容:
![Bialgebra commutative diagrams](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Bialgebra2.svg/500px-Bialgebra2.svg.png)
乘法與餘單位元相容:
![Bialgebra commutative diagrams](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Bialgebra3.svg/310px-Bialgebra3.svg.png)
餘乘法與單位元相容:
![Bialgebra commutative diagrams](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9c/Bialgebra4.png)
單位元與餘單位元相容:
![Bialgebra commutative diagrams](//images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fa/Bialgebra1.svg/125px-Bialgebra1.svg.png)
在此
是代數乘法,而
是代數之單位元。
是餘代數乘法,而
是餘代數單位元。
定義為
。
式子
若以算式具體描述,則相容關係有如下之表示(在此採用省略
之 Sweedler 記法):
乘法與餘乘法相容:
![{\displaystyle (ab)_{(1)}\otimes (ab)_{(2)}=a_{(1)}b_{(1)}\otimes a_{(2)}b_{(2)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/793c2b24a62074c33d6cc8daeceed4642696ecf6)
乘法與餘單位元相容:
![{\displaystyle \varepsilon (ab)=\varepsilon (a)\varepsilon (b)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20daed13ad77b1abd763b44537a9dbbf1f450bae)
餘乘法與單位元相容:
![{\displaystyle 1_{(1)}\otimes 1_{(2)}=1\otimes 1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea9407ce4a0cb8f92d04b327cefff83f5ce2e091)
單位元與餘單位元相容:
![{\displaystyle \varepsilon (1)=1.\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100e9ab481f48d1ebe057b2d2831cc4c6ea86a84)
在此我們省略代數乘法之映射
,而直接以兩項並置表之。同理,單位元
直接以單位元素
表示(對應到
)。
相關文獻
- Eiichi Abe, Hopf Algebras (1980), translated by Hisae Kinoshita and Hiroko Tanaka, Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0
參見