黏着空間
在數學中,黏着空間(adjunction space)是拓撲學中一個常見構造,它將一個拓撲空間貼或「黏合」到另一個。 具體地,設 X 與 Y 是一個拓撲空間以及 Y 的一個子空間A。設 f : A → X 是一個連續映射(稱為貼映射,attaching map)。黏着空間 X ∪f Y 之構造如下:先取 X 與 Y 的不交並然後對所有屬於 A的 x ,將 x 與 f(x) 等化。用數學符號表示為:
有時黏着空間也寫成 。在直覺上,我們認為 Y 通過映射 f 黏合到 X。
作為一個集合,X ∪f Y 由 X 與 (Y − A) 的不交並組成;但其拓撲由商構造確定。當 A 是 Y 的一個閉子集時,可以證明映射 X → X ∪f Y 時一個閉嵌入且 (Y − A) → X ∪f Y 是一個開嵌入。
例子
- 黏着空間的一個通常例子是當 Y 是個閉 n-球(或胞腔)而 A 是球的邊界,即 (n-1)-球面。歸納地將胞腔沿着它們的球面邊界貼到這些空間得到了一個 CW-復形的例子。
- 黏着空間也用於定義流形的連通和。這裏我們首先將 X 與 Y 各自挖掉一個開球,然後將挖去球的 X 與 Y 沿着挖去球剩下的邊界沿着一個貼映射黏合。
- 如果 A 是一個帶有一個點的空間則黏着空間是 X 與 Y 的楔和(wedge sum)。
- 如果 X 是一個帶有一個點的空間則粘着空間是商 Y/A。
範疇描述
黏着構造是拓撲空間範疇中推出的例子。這就是說,黏着空間是關於如下交換圖表的泛對象:
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/AdjunctionSpace-01.svg/82px-AdjunctionSpace-01.svg.png)
這裏 i 是包含映射而 φX, φY 是分別商映射與到X 和 Y 不交並的典範單射的複合。可以將 i 換成任意一個連續映射 g 構造一個一般的推出——過程是類似的。反之,如果 f 也是一個包含黏着構造不過是將 X 與 Y 沿着它們的公共子空間簡單的黏合。
參考文獻
- Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. (提供了一個簡明的介紹。)
- Adjunction space. PlanetMath.