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24點

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24點遊戲(在香港也稱「合廿四」)J、Q、和K去除,或當成10;還有一個版本是把J表示11,Q表示12,K代表13。

有些組合有多種算法,例如2,4,6,Q四張牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等來求解。也有些組合算不出24,如1、1、1、1 和 6、7、8、8等組合。

較有難度的24點

雖然大多數24點存在很多解法,有相當一部分數字組合只存在單一的解法。這種組合往往較有難度,也較為有趣。這裏總結一些常見的組合。

分數或小數運算

雖然給出4個數字都是整數,中間步驟中有時會出現分數或小數。這種4個數字的組合往往較有難度。一個經典的例子是1,5,5,5,其解答為5×(5 − 1 ÷ 5) = 24;另外 一個例子是3,3,8,8,其解答為8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因為後者用到了兩次除法,其解法比較難以想到。另外一些類似的組合為:

數字組合 解法 數字組合 解法
 2,  4, 10, 10 (2 + 4 ÷ 10)×10  2,  5,  5, 10 (5 − 2 ÷ 10)×5
 2,  7,  7, 10 (2 + 10 ÷ 7)×7  3,  3,  7,  7 (3 + 3 ÷ 7)×7
 4,  4,  7,  7 (4 − 4 ÷ 7)×7  2,  2, 11, 11 (2 + 2 ÷ 11)×11
 2,  2, 13, 13 (2 − 2 ÷ 13)×13  1,  3,  4,  6 6 ÷ (1 − 3 ÷ 4)
 2,  3,  5, 12 12 ÷ (3 − 5 ÷ 2)  1,  8, 12, 12 12 ÷ (12 ÷ 8 - 1)

大數/奇數運算

大多數組合中,中間步驟只會涉及到一些較小的數字(≤32)。但是有些組合中會涉及到一些較大數字,這些組合通常較有難度。比如4、4、10、10的解法為(10×10 − 4) ÷ 4 = 24,5、6、6、9的解法為6×9 − 5×6 = 24。此外如果運算涉及到一些奇數的運算也會增加難度,比如6、9、9、10的解法為9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下:

數字組合 解法 數字組合 解法
 1,  3,  9, 10 (1 + 10)×3 − 9  7,  8,  8, 10 10×8 − 7×8
 9, 11, 12, 12 11×12 − 9×12  1,  2,  7,  7 (7×7 − 1) ÷ 2
 3,  8,  8, 10 (8×10 − 8) ÷ 3  4,  8,  8, 11 (8×11 + 8) ÷ 4
 5, 10, 10, 13 (10×13 − 10) ÷ 5  1,  5, 11, 11 (11×11 - 1) ÷ 5
 1,  6, 11, 13 (11×13 + 1) ÷ 6  1,  7, 13, 13 (13×13 − 1) ÷ 7


計算複雜性排行

下面 17 組是由計算機根據計算複雜性和結構找到的最難組合,完整的 566 組有解(多組解則取最簡單的情況)情況如附錄。

數字組合 解法 數字組合 解法 數字組合 解法
1,3,4,6 (6/(1-(3/4))) 1,2,7,7 (((7*7)-1)/2) 3,3,7,7 (((3/7)+3)*7)
1,4,5,6 (4/(1-(5/6))) 3,5,10,10 (3*(10-(10/5))) 2,7,7,10 (((10/7)+2)*7)
3,3,8,8 (8/(3-(8/3))) 3,8,8,10 (((10*8)-8)/3) 2,2,7,10 (((10/2)+7)*2)
1,6,6,8 (6/(1-(6/8))) 4,4,10,10 (((10*10)-4)/4) 3,3,6,6 (3*((6/3)+6))
1,4,5,6 (6/((5/4)-1)) 1,5,5,5 ((5-(1/5))*5) 2,4,10,10 (10*((4/10)+2))
2,5,5,10 ((5-(2/10))*5)
4,4,7,7 ((4-(4/7))*7)

24點的組合數學

其實獨立的24點的個數並不多。如果每張牌面的數值被限制在1到K之間,獨立的數字組合數由有重複的組合數給出:

譬如,如果最大的牌面數值為10,那麼獨立的數字組合為715個,遠比10000要小;如果最大的牌面數值為13,那麼獨立的數字組合為1820個。這是因為其他的組合可以通過簡單的數字交換得到。

可以用枚舉證明,如果最大牌面數值為10,在715個組合中,有149個組合是沒有解的。此外,如果我們隨機的取4個1-10之間的數字,無解的概率為1442/10000大致為1/7。如果最大牌面數值為13,則會有458個組合無解(總數為1820)。

推廣

24點遊戲可以被推廣到多張牌(n>4)的情形。通常我們假定這n張牌是從一副牌中選出的,也就是說,每個數字至多出現4次。比如在5張牌、最大數值為10的情況下,有1992種不同的組合方式。其中無解的比例大大降低,一共為如下37種。如果最大數值為13,則無解的總數擴大為80。

1 1 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3
1 1 1 9 9 1 1 1 9 10 1 1 1 10 10 1 1 2 2 2 1 1 6 7 7 1 1 7 7 7
1 1 9 9 9 1 1 9 9 10 1 1 10 10 10 1 5 9 9 9 1 6 7 7 7 1 7 7 7 7
1 7 9 9 9 1 8 9 9 10 1 8 9 10 10 1 9 9 9 9 1 9 9 9 10 1 9 9 10 10
1 9 10 10 10 1 10 10 10 10 2 9 9 9 9 3 5 5 5 5 4 9 9 9 9 6 7 7 7 7
6 10 10 10 10 8 9 9 9 10 8 9 9 10 10 9 9 9 9 10 9 9 9 10 10 9 9 10 10 10
9 10 10 10 10

注意到,以上羅列的情形中並沒有5個相同數字的組合,比如,5個1,這是因為一副牌最多只有4個相同數字的牌。

在6張牌的情況下,4905種不同的組合方式中僅有3種組合是無解的:1 1 1 1 2 2,9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7張牌的情況下,所有組合方式(10890種)都有解。

影響

這遊戲在兩國都十分流行,也是課堂教學的內容之一。[1]

參考

  1. ^ 王萍萍, 吳蘭, 賈梅. 一節「算24點」活動課的創新教育啟示 《中學數學月刊》, 2015 (11) :13-16 ISSN 1004-1176

參見