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e的π次方

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e的π次方
e的π次方
命名
名稱格爾豐德常數
識別
種類無理數
超越數
符號
位數數列編號OEISA039661
性質
連分數[23; 7, 9, 3, 1, 1, 591, 2, 9, 1, 2, 34, 1, 16, 1, 30, 1, 1, 4, 1, 2, 108 ...]
以此為的多項式或函數
表示方式
23.140692632779269



二進制10111.001001000000010001101110
十進制23.140692632779269005729086
十六進制17.24046EB093399ECDA7489F9A

又稱格爾豐德常數(英語:Gelfond's constant)是一個數學常數。與eπ一樣,它是一個超越數。這可以用格爾豐德-施奈德定理來證明,並注意到:

其中i虛數單位。由於i代數數,但肯定不是有理數,因此eπ是超越數。這個常數在希爾伯特第七問題中曾提到過。一個相關的常數是,又稱為格爾豐德-施奈德常數。相關的值也是無理數[1]

數值

十進制中,eπ大約為

它的值可以用以下迭代來求出。定義

其中

迅速收斂於

幾何中的獨特之處

n維球體的體積由以下公式給出:

所以,任何一個偶數維的單位球具有體積:

把所有偶數維的單位球的體積加起來,得出:[2]

相似或相關的常數

拉馬努金常數

即所謂的拉馬努金常數,是黑格納數的一個應用,其中 的 163 是問題中用到的黑格納數。

eπ - π 一樣,eπ163 非常接近整數

262537412640768743.9999999999992500725971981856888793538563373369908627075374103782106479101186073129...

雖然這個數是由法國數學家夏爾·埃爾米特在 1859 年所發現,但印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金第一個預測它非常接近整數,因而以他為名。

這種非常近似於 6403203 + 744 的巧合,可以用 j-invariant英語j-invariant複數乘法英語complex multiplicationq展開來表示。

O(e-π163) 是誤差項。

這解釋了為何 eπ1636403203 + 744 小了 0.000 000 000 000 75 。(這個證明的細節,可以參考黑格納數)。

eπ - π

A018938 所給出 eπ - π 的十進位表示為

19.9990999791894757672664429846690444960689368432251061724701018172165259444042437848889371717254321516...

儘管這個數非常接近正整數 20 ,但目前沒有關於這個現象的解釋;因此,被認為是一種數學巧合

πe

A059850 給出的 πe 十進位表示為:

22.4591577183610454734271522045437350275893151339966922492030025540669260403991179123185197527271430315...

目前還不知此數是否是超越數。


須注意的是,根據 格爾豐德-施奈德定理,只有在 a 是代數數,而 b 是非有理數(ab 都是複數,且 a ≠ 0, a ≠ 1)的情況下,ab 才為超越數。

之所以可以證明 eπ 是超越數,其原因在於複數的指數形式,因為 π 可以被視為複數 eπ 的模,而根據 (-1)-i 的等式,才可以使用 格爾豐德-施奈德定理 。

πe 則沒有如此的等式,所以,儘管 πe 都是超越數,但我們不能由此說 πe 是超越數。

eπ - πe

如同 πe,我們仍不知 eπ - πe 是否是超越性質的。甚至,目前還沒有證明說它是無理數:

A059850 給出的 eπ - πe 十進位表示為:

0.6815349144182235323019341634048123526767911086035197442420438554574163102913348711984522443404061881...

ii

OEISA059850給出的 ii 十進位表示為:

0.2078795763507619085469556198349787700338778416317696080751358830554198772854821397886002778654260353...

因為上述等式,可用格爾豐德-施奈德定理證明格爾豐德常數的平方根倒數也是超越的:

i 是代數數,但同時不是有理數,由此ii 是超越數。

參見

參考文獻

  1. ^ Nesterenko, Y. Modular Functions and Transcendence Problems. Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1. 1996, 322 (10): 909–914. 
  2. ^ Connolly, Francis. University of Notre Dame

外部連結