在量子力学里,位置算符(position operator)是一种量子算符。对应于位置算符的可观察量是粒子的位置。位置算符的本征值是位置矢量。采用狄拉克标记,位置算符
的本征态
满足方程
;
其中,
是本征值,是量子态为
的粒子所处的位置,
只是一个数值。
位置空间表现
设定量子态
。量子态
、
的位置空间表现,即波函数,分别定义为
、
。
在位置空间里,定义算符
为
。
在位置空间里,使用连续本征态
所组成的基底,任意量子态
展开为
。
将量子算符
作用于量子态
,可以得到
。
应用狄拉克正交归一性,
,这方程与左矢
的内积为
。
量子态
的展开式为
。
应用狄拉克正交归一性,这方程与左矢
的内积为
。
所以,两个波函数
、
之间的关系为
。
总结,位置算符
作用于量子态
的结果
,表现于位置空间,等价于波函数
与
的乘积
。位置算符
的位置空间表现是位算符
,可以称算符
为位置算符。
本征函数
假设,在位置空间里,位置算符
的本征值为
的本征函数是
。用方程表达,[1]
。
这方程的一般解为,
;
其中,
是常数,
是狄拉克δ函数。
注意到
无法归一化:
。
设定
,函数
满足下述方程:
。
这性质不是普通的正交归一性,这性质称为狄拉克正交归一性。因为这性质,位置算符的本征函数具有完备性,也就是说,任意波函数
都可以表达为本征函数的线性组合:
。
虽然本征函数
所代表的量子态是无法实际体现的,并且严格而论,不是一个函数,它可以视为代表一种理想量子态,这种理想量子态具有准确的位置
,因此,根据不确定性原理,这种理想量子态的动量呈均匀分布。
期望值
采用位置空间表现,设想一个移动于一维空间的量子粒子。在这里,希尔伯特空间是
,是实值定义域的平方可积函数的空间。[2]:11两个态矢量的内积是
。
对于任意量子态
,可观察量
的期望值为
。
位置算符
作用于量子态
的结果,表现于位置空间,等价于波函数
与
的乘积,所以,
。
粒子处于
与
微小区间内的概率是
。
粒子位置与概率的乘积在位置空间的积分,就是粒子位置的期望值。
三维案例
推广至三维空间相当直截了当,参数为三维位置
的波函数为
,位置的期望值为[2]:41-42
;
其中,
是积分体积。
位置算符
的作用为
。
对易关系
位置算符与动量算符的对易算符,当作用于波函数时,会得到一个简单的结果:
。
所以,
。这关系称为位置算符与动量算符的对易关系。由于两者的对易关系不等于 0 ,位置与动量彼此是不相容可观察量。
与
绝对不会拥有共同的基底量子态。一般而言,
的本征态与
的本征态不同。
根据不确定性原理,
。
由于
与
是两个不相容可观察量,
。所以,
的不确定性与
的不确定性的乘积
,必定大于或等于
。
参考文献
- ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 17, 104–109. ISBN 0-13-111892-7.
- ^ 2.0 2.1 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914