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元定理

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逻辑上,元定理是一个以元语言的对于形式系统的陈述。和在一个形式系统内证明的定理不同,元定理是在元理论中证明的,且可能涉及元理论中存在、但在对象理论中不存在的概念。

一个形式系统是由元语言和演绎系统(公理及推理规则)所决定的,这形式系统可用于证明系统中以形式语言表达的特定陈述;然而,元定理要以元定理系统以外的事物进行证明,而常见的元定理包括了集合论(尤其在模型论中)及原始归纳算术英语Primitive recursive arithmetic(尤其在证明论中)等等;此外,比起显示特定的陈述可证明,元定理更常显示说一大类的陈述是可证明的,或特定陈述是不可证明的。

例子

以下是元定理的一些例子:

  • 一阶逻辑演绎定理说一个有着这形式的句子在公理系统中是可证明的,当且仅当句子是可从包含及所有的的公理的公理系统中证明的。
  • 冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论的类存在性定理(class existence theorem)说对于任意量词仅及于集合的公式,总存在一个包含集合满足这公式。
  • 皮亚诺公理之类的系统的一致性证明

参见

参考资料

  • Geoffrey Hunter (1969), Metalogic.
  • Alasdair Urquhart (2002), "Metatheory", A companion to philosophical logic, Dale Jacquette (ed.), p. 307

外部链接