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利萨茹曲线

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示波器上的利萨茹图形
三维利萨茹图形

数学上,利萨茹Lissajous曲线(又称利萨茹图形李萨如图形鲍迪奇Bowditch曲线)是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。

纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。

数学定义

利萨茹曲线由以下参数方程定义:

其中

称为曲线的参数,是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数,则,参数方程可以写作:

其中

性质

  • 为无理数,曲线在长方形稠密
  • 为有理数,
    • 曲线是代数曲线对奇数,或对偶数
    • 曲线是代数曲线的一部分若对奇数,或对偶数
  • 为偶数而,或若为奇数而,则曲线是第切比雪夫多项式的曲线的一部分。

特别情况

  • ,则曲线是椭圆
    • ,则这椭圆其实是
    • ,则这椭圆其实是线段。
  • (所以),则曲线是besace
    • ,则这besace是抛物线一部分。
    • ,则这besace是一个热罗诺双纽线

以下是利萨茹曲线的例子,其中, 是奇数,是偶数,

频率比1:n和n:1的情况

Δφ 1:1 1:2 1:3 2:1
0

¹/₄·π

¹/₂·π

³/₄·π

1·π

1¹/₄·π

1¹/₂·π

1³/₄·π

2·π

频率比n1:n2的情况

Δφ 2:3 Δφ 3:4
0 0
¹/₂·¹/₄·π ¹/₃·¹/₄·π
¹/₂·¹/₂·π ¹/₃·¹/₂·π
¹/₂·³/₄·π ¹/₃·³/₄·π
¹/₂·π ¹/₃·π
5/8·π 5/12·π
³/₄·π ¹/₂·π
7/8·π 7/12·π
1·π ²/₃·π

演示

鼠标悬浮在两个数字上时,通过滚轮可以调节数字大小。


在电子学上的应用

借由使用利萨茹图形可以测量出两个信号频率比与相位差。

外部链接