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参数方程

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用参数方程可以很容易表示出的蝶形线

参数方程(英语:Parametric equation)和函数相似,都是由一些在指定的集合,称为参数自变量,以决定因变数的结果。例如在运动学,参数通常是“时间”,而方程的结果是速度、位置等。

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数:

并且对于t的每一个允许的取值,由方程组确定的点(x, y)都在这条曲线上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,联系变数x、y的变数t叫做参变数,简称参数。相对而言,直接给出点坐标间关系的方程叫普通方程。

,表示了平面上半径为、以原点为圆心的。在三维,加入,便是螺旋的图形。这些式子可以表示成:

如果有一个粒子,沿这个螺旋的路径而行,直接微分上面的式子便会得到粒子的速度:

加速度

参数曲线亦可以是多于一个参数的函数。例如参数表面是两个参数(s,t)或(u,v)的函数。

譬如一个圆柱:


参数是参变数的简称。它是研究运动等一类问题中产生的。质点运动时,它的位置必然与时间有关系,也就是说,质的坐标x,y与时间t之间有函数关系x=f(t),y=g(t),这两个函数式中的变量t,相对于表示质点的几何位置的变量x,y来说,就是一个“参与的变量”。这类实际问题中的参变量,被抽象到数学中,就成了参数。我们所学的参数方程中的参数,其任务在于沟通变量x,y及一些常量之间的联系,为研究曲线的形状和性质提供方便。

用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接简便。对于解决求最大射程、最大高度、飞行时间或轨迹等一系列问题都比较理想。有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困难,甚至不可能,列出的方程既复杂又不易理解,如圆的渐开线的普通方程。

根据方程画出曲线十分费时;而利用参数方程把两个变量x,y间接地联系起来,常常比较容易,方程简单明确,且画图也不太困难。

常见参数方程

圆形参数方程在r=1的情形。
  • 直线
    • 点斜式过斜率的直线:
    • 点向式过, 方向向量的直线:
  • 椭圆
  • 双曲线
  • 抛物线
  • 螺线
  • 摆线

注:上文中的为已知数,t都为参数, x, y为变量

参见