史特芬十四面体 是一种弹性多面体 ,由克劳斯·史特芬 于1978年发现[ 1] [ 2] :244-247 [ 3] 。这种多面体基于布里卡尔八面体 但没有自相交的面 [ 4] 。这个多面体 一共有14个三角形 面 ,是最简单的由非相交面 组成的弹性多面体 。[ 5] 其遵循强风箱猜想(strong bellows conjecture),这意味着其登不变量 在形变过程皆保持不变。[ 6]
性质
史特芬十四面体 由14个面 、21条边 和9个顶点 组成。其6个面又可以分成2个子群:来自布里卡尔八面体 的6个三角形 组,以及将这些三角形组拼起来的另外两个三角形。[ 7]
顶点座标
史特芬十四面体的顶点 座标 为:[ 8]
p
1
=
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle p_{1}=\left(0,\,0,\,0\right)}
p
2
=
(
−
12
,
0
,
0
)
{\displaystyle p_{2}=\left(-12,\,0,\,0\right)}
p
3
=
(
1
24
,
−
17
287
24
,
0
)
{\displaystyle p_{3}=\left({\frac {1}{24}},\,-{\frac {17{\sqrt {287}}}{24}},\,0\right)}
p
4
=
(
x
,
r
cos
θ
,
r
sin
θ
)
{\displaystyle p_{4}=\left(x,\,r\cos \theta ,\,r\sin \theta \right)}
其中
x
{\displaystyle x}
与
r
{\displaystyle r}
可透过下列方程组 得出:[ 8]
{
‖
p
1
−
p
4
‖
2
=
25
‖
p
2
−
p
4
‖
2
=
100
{\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{1}-p_{4}\right\|^{2}=25\\\left\|p_{2}-p_{4}\right\|^{2}=100\end{cases}}}
p
5
{\displaystyle p_{5}}
、
p
6
{\displaystyle p_{6}}
、
p
7
{\displaystyle p_{7}}
皆是未知数,其可由下列方程组 得出:[ 8]
{
‖
p
5
−
p
4
‖
2
=
121
‖
p
5
−
p
2
‖
2
=
100
‖
p
6
−
p
4
‖
2
=
144
‖
p
6
−
p
1
‖
2
=
100
‖
p
7
−
p
2
‖
2
=
144
‖
p
7
−
p
3
‖
2
=
144
‖
p
5
−
p
6
‖
2
=
144
‖
p
6
−
p
7
‖
2
=
100
‖
p
7
−
p
5
‖
2
=
25
{\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{5}-p_{4}\right\|^{2}=121\\\left\|p_{5}-p_{2}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{6}-p_{4}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{6}-p_{1}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{7}-p_{2}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{7}-p_{3}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{5}-p_{6}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{6}-p_{7}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{7}-p_{5}\right\|^{2}=25\end{cases}}}
p
8
{\displaystyle p_{8}}
、
p
9
{\displaystyle p_{9}}
亦是未知数,分别可由下列两组方程组得出:[ 8]
{
‖
p
8
−
p
3
‖
2
=
100
‖
p
8
−
p
6
‖
2
=
144
‖
p
8
−
p
7
‖
2
=
25
{\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{8}-p_{3}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{8}-p_{6}\right\|^{2}=144\\\left\|p_{8}-p_{7}\right\|^{2}=25\end{cases}}}
{
‖
p
9
−
p
1
‖
2
=
25
‖
p
9
−
p
3
‖
2
=
100
‖
p
9
−
p
6
‖
2
=
144
{\displaystyle {\begin{cases}\left\|p_{9}-p_{1}\right\|^{2}=25\\\left\|p_{9}-p_{3}\right\|^{2}=100\\\left\|p_{9}-p_{6}\right\|^{2}=144\end{cases}}}
构成史特芬十四面体的14个三角形分别为
△
p
1
p
2
p
3
{\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{2}}{p_{3}}}
、
△
p
7
p
3
p
2
{\displaystyle \triangle {p_{7}}{p_{3}}{p_{2}}}
、
△
p
1
p
4
p
2
{\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{4}}{p_{2}}}
、
△
p
2
p
4
p
5
{\displaystyle \triangle {p_{2}}{p_{4}}{p_{5}}}
、
△
p
2
p
5
p
7
{\displaystyle \triangle {p_{2}}{p_{5}}{p_{7}}}
、
△
p
1
p
6
p
4
{\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{6}}{p_{4}}}
、
△
p
4
p
6
p
5
{\displaystyle \triangle {p_{4}}{p_{6}}{p_{5}}}
、
△
p
5
p
6
p
7
{\displaystyle \triangle {p_{5}}{p_{6}}{p_{7}}}
、
△
p
6
p
8
p
7
{\displaystyle \triangle {p_{6}}{p_{8}}{p_{7}}}
、
△
p
6
p
9
p
8
{\displaystyle \triangle {p_{6}}{p_{9}}{p_{8}}}
、
△
p
1
p
9
p
6
{\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{9}}{p_{6}}}
、
△
p
3
p
7
p
8
{\displaystyle \triangle {p_{3}}{p_{7}}{p_{8}}}
、
△
p
3
p
8
p
9
{\displaystyle \triangle {p_{3}}{p_{8}}{p_{9}}}
、
△
p
1
p
3
p
9
{\displaystyle \triangle {p_{1}}{p_{3}}{p_{9}}}
。[ 8]
体积
根据风箱定理[ 9] ,多面体 的体积 必为多项式 的根,多项式的系数 仅取决于多面体的边长。由于边长不会随着多面体的变形过程改变,因此体积必须保持在多项式 的有限个根之一,而不会连续变化[ 10] ,因此史特芬十四面体在不同的变化状态下体积皆保持不变。以上述顶点座标描述的史特芬十四面体为例,虽然其有不少顶点是可变的值,其在所有变化状态下的体积皆为定值,其值约为200.777立方单位。[ 8] :6
参见
参考文献
^ Lijingjiao; et al. Optimizing the Steffen flexible polyhedron (PDF) . 2015 [2021-09-09 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2020-02-15).
^ Cromwell, P. R. Polyhedra . New York: Cambridge University Press. 1997. ISBN 978-0521664059 .
^ Mackenzie, Dana. Polyhedra can bend but not breathe. Science (American Association for the Advancement of Science). 1998, 279 (5357): 1637–1637.
^ Connelly, Robert, Flexing surfaces, Klarner, David A. (编), The Mathematical Gardner, Springer: 79–89, 1981, ISBN 978-1-4684-6688-1 , doi:10.1007/978-1-4684-6686-7_10 .
^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4 , MR 2354878 , doi:10.1017/CBO9780511735172
^ Alexandrov, Victor, The Dehn invariants of the Bricard octahedra, Journal of Geometry, 2010, 99 (1-2): 1–13, MR 2823098 , arXiv:0901.2989 , doi:10.1007/s00022-011-0061-7 .
^ Fuchs, Dmitry; Tabachnikov, Serge, Mathematical Omnibus: Thirty lectures on classic mathematics , Providence, RI: American Mathematical Society: 354, 2007 [2021-09-09 ] , ISBN 978-0-8218-4316-1 , MR 2350979 , doi:10.1090/mbk/046 , (原始内容存档 于2017-03-03) .
^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Mark McClure. Steffen's polyhedron (PDF) . marksmath.org. [2021-09-09 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2021-10-06).
^ Gaĭfullin, A. A.; Ignashchenko, L. S., Dehn invariant and scissors congruence of flexible polyhedra, Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni V. A. Steklova, 2018, 302 (Topologiya i Fizika): 143–160, ISBN 5-7846-0147-4 , MR 3894642 , doi:10.1134/S0371968518030068
^ Demaine, Erik D.; O'Rourke, Joseph, 23.2 Flexible polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, origami, polyhedra, Cambridge University Press, Cambridge: 345–348, 2007, ISBN 978-0-521-85757-4 , MR 2354878 , doi:10.1017/CBO9780511735172
外部链接