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含时摄动理论

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量子力学里,含时摄动理论研究一个量子系统的含时摄动所产生的效应。这理论由狄拉克首先发展成功。由于系统的含摄动哈密顿量含时间,伴随的能级本征态也含时间。所以,不同于不含时摄动理论,含时摄动理论解析问题的目标为:

  • 给予初始量子态,求算某个可观测量 的含时间期望值
  • 一个量子系统的含时间量子态,仍旧是这系统的不含时零摄动哈密顿量 的本征态的线性组合。求算这系统的量子态处于某个本征态的概率幅

第一个结果的重要性是,它可以预测由实验测量得到的答案。例如,思考一个氢原子电子,其所在位置的 x-坐标的期望值 ,当乘以适当的系数后,给出这电子的含时间偏振。将一个恰当的摄动(例如,一个震荡的电势)作用于氢气,应用含时摄动理论,我们可以计算出交流电电容率。详细内容,请参阅条目介电谱学 (dielectric spectroscopy) 。

第二个结果着眼于量子态处于每一个本征态的概率。这概率与时间有关。在镭射物理学里,假若我们知道这概率,我们就可以计算一个气体,因为含时间电场的作用,处于某个量子态的概率密度函数。这概率也可以用来计算谱线的量子增宽 (quantum broadening) 。

导引

让我们简略的解释,含时摄动理论的狄拉克表述,其背后的点子。先为零摄动系统选择一个能量本征态的正交基 。这些本征态与时间无关。

假若,在时间 ,零摄动系统处于本征态 。那么,随着时间流逝,这系统的量子态可以表达为(采用薛定谔绘景:量子态随着时间流逝而演化,而对应于可观察量算符则与时间无关)

其中, 是本征态 的能级,约化普朗克常数

现在,添加一个含时间的哈密顿量摄动 。包括摄动系统在内的哈密顿量

(1)

标记 为含摄动系统在时间 的量子态。它遵守含时薛定谔方程:

(2)

在任何时间,量子态可以表达为本征态的线性组合

(3)

其中,复函数,称为幅度。在这里,我们显性地表示出公式右手边的相位因子 。这只是为了便利因素。并不会因此而失去一般性。

假若系统的初始量子态是 ,而又没有摄动作用,则幅度会有很理想的性质:随着时间的演化,

回思公式 (3) ,幅度 的绝对平方是 在时间 处于本征态 概率

将公式 (1) 与 (3) 代入含时薛定谔方程 (2) ,可以得到

由于 ,这公式左手边的 项目于右手边的 项目相抵销。所以,

内积于这公式两边,可以得到一组联立的偏微分方程

矩阵元素 的角色,影响到量子态的幅度改变的速率 。可是,注意到这迁移内中含有一个相位因子。经过一段超久于 的间隔时间,相位会转绕很多圈次。

一直到此,我们尚未尝试取近似值。所以,这一组偏微分方程仍旧是精确的。通过给予初始值 ,原则上,我们可以找到(非摄动的)精确解。对于双态系统,只有两个能级 () 的量子系统,可以很容易的找到答案。而且,很多量子系统,像氨分子氢分子离子 (Hydrogen molecular ion) ,苯分子等等,都可以用双态系统模型来分析[1]。但是对于更多能级的系统,找到精确解是非常困难的。我们只好寻找摄动解。我们可以用积分式来表达幅度:

重复的将 的表达式代入这公式的右手边,可以得到一个迭代解

其中,举例而言,一阶项目是

应用含时摄动理论,可以得到更多进一步的结果,像费米黄金律 (Fermi's golden rule) 或戴森级数 (Dyson series) 。费米黄金律计算,因为含时摄动,从某个能量本征态发射至另外一个能量本征态的跃迁率。通过应用上述迭代法于时间演化算符,可以得到戴森级数。这是费曼图方法的起点之一。

参阅

参考文献

  1. ^ 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修. 費曼物理學講義 III (2) 量子力學應用. 台湾: 天下文化书. 2006: pp. 71–108. ISBN 986-417-672-2. 

外部链接