本条目中，向量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如，位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
在经典力学 里，拉普拉斯-龙格-楞次矢量 （Laplace–Runge–Lenz vector；简称为LRL矢量 ）主要是用来描述，当一个物体环绕着另外一个物体运动时，轨道 的形状与取向 。典型的例子是行星的环绕着太阳公转 。在一个物理系统里，假若两个物体以万有引力 相互作用，则LRL矢量必定是一个运动常数 ，不管在轨道的任何位置，计算出来的LRL矢量都一样[ 1] 保守量 。更广义地，在开普勒问题 里，由于两个物体以有心力 相互作用，而有心力遵守平方反比定律 ，所以，LRL矢量是一个保守量[ 2]
氢原子 是由两个带电粒子构成的。这两个带电粒子以遵守库仑定律 的静电力 互相作用．静电力是一个标准的平方反比 有心力 。所以，氢原子 内部的微观运动是一个开普勒问题。在量子力学 的发展初期，薛定谔 还在思索他的薛定谔方程 的时候，沃尔夫冈·泡利 使用LRL矢量，关键性地推导出氢原子的发射光谱 [ 3]
在经典力学 与量子力学 里，因为物理系统的某一种对称性 ，会产生 一个或多个对应的保守值。LRL矢量也不例外。可是，它相对应的对称性很特别；在数学里，开普勒问题等价于一个粒子自由地移动于四维空间的三维球面 [ 4] [ 5]
拉普拉斯-龙格-楞次矢量是因皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 、卡尔·龙格 与威廉·楞次 而命名。它又称为拉普拉斯矢量 ，龙格-楞次矢量 ，或楞次矢量 。有趣的是，LRL矢量并不是这三位先生发现的！这矢量曾经被重复地发现过好几次[ 6] 天体力学 中无量纲 的离心率矢量 [ 7] 狭义相对论 ，或电磁场 ，甚至于不同类型的有心力 。
在一个物理系统里，在任意保守 的有心力 的作用下（参阅保守力 ），一个粒子的运动，都会拥有至少四个运动常数 ；能量 与角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
分量 皆为运动常数。粒子的轨道被限制于一个平面。粒子的动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
力中心点 的位置到粒子位置的位移
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
r
⋅
L
=
0
{\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {L} =0}
LRL矢量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
平方反比定律 时，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
[ 1]
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
平方反比定律 ，则
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
定义 一个广义LRL矢量，但是，这广义矢量通常并没有解析解 ，假若有，也会是一个非常复杂的函数[ 8] [ 9]
在重要的开普勒问题中，LRL矢量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
天文轨道 ，例如行星的运动。然而，物理学家对它并不熟悉，这很可能是因为与动量与角动量相比，它的物理内涵比较难以被直觉地理解。因此，在过去三个世纪里，它曾被重复地发现过许多次[ 6] 雅各布·赫尔曼 最先发表了关于LRL矢量的论文。在推导一个轨道方程的过程中，他计算出LRL矢量的大小，
A
{\displaystyle A}
[ 10] 椭圆 轨道离心率 的关系。稍后，赫尔曼把这结果告诉约翰·伯努利 ，他的恩师。伯努利又更进一步地推导出LRL矢量的方向。这样，LRL矢量得到了它的现代形式[ 11]
在那个世纪末尾，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 又重新地发现了LRL矢量的保守性；稍微不同地，他的导引使用的是分析方法，而不是几何方法[ 12] 威廉·哈密顿 推导出全等的离心率矢量 [ 7] 速端曲线 显示出，粒子动量矢量的头部呈圆形移动[ 13] 约西亚·吉布斯 ，应用矢量分析 ，推导出同样的矢量[ 14] 卡尔·龙格 将吉布斯的导引，纳入自己所写的一本广受欢迎的，关于矢量的，德文教科书内，成为其中的一个例题[ 15] 威廉·楞次 发表了一篇关于氢原子 的旧量子论 的论文。在这篇论文中，他引用龙格所写的教科书的例题为参考[ 16] 沃尔夫冈·泡利 用LRL矢量与矩阵力学 ，而不是薛定谔方程 ，来推导氢 原子 的光谱 [ 3]
图1:在平方反比有心力 的作用下，一个移动中的粒子，在椭圆轨道的四点（标记为1, 2, 3,与4）的LRL矢量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
力中心点 表示为一个小黑点；从这黑点，位置矢量
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
p
×
L
{\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }
m
k
r
^
{\displaystyle mk{\hat {\mathbf {r} }}}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
平方反比 有心力
F
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {F} (r)}
F
(
r
)
=
−
k
r
2
r
^
{\displaystyle \mathbf {F} (r)=-{\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
其中，
k
{\displaystyle k}
r
^
=
r
r
{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}
单位矢量 ，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
位置矢量 ，
r
{\displaystyle r}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
感受到此力的作用，一个粒子的轨道运动，其LRL矢量的数学定义方程为[ 1]
A
=
p
×
L
−
m
k
r
^
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} }
其中，
m
{\displaystyle m}
质量 ，
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
动量 ，
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
角动量 。
由于平方反比有心力为保守力 ，能量
E
=
p
2
2
m
−
k
r
{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}}
运动常数 ：
d
E
d
t
=
p
m
p
˙
+
k
r
2
r
˙
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\frac {p}{m}}{\dot {p}}+{\frac {k}{r^{2}}}{\dot {r}}=0}
再者，角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
p
×
L
{\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
这个单独粒子的LRL矢量定义，也可以延伸至像开普勒问题一类的二体问题，只需要设定质量
m
{\displaystyle m}
约化质量 ，设定位置矢量
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
同样的运动常数可以有很多种不同的表述．最常见的一种牵涉到离心率矢量 。定义离心率矢量
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
m
k
{\displaystyle mk}
[ 7] [ 17]
e
=
A
m
k
=
1
m
k
(
p
×
L
)
−
r
^
{\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} }
图2：这是图1的简化版，角
θ
{\displaystyle \theta }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
开普勒问题的运动轨道，其形状与取向 ，可以用LRL矢量决定[ 1]
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
A
⋅
r
=
A
r
cos
θ
=
r
⋅
(
p
×
L
)
−
m
k
r
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr}
其中，
θ
{\displaystyle \theta }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
置换 其三重积 ，
r
⋅
(
p
×
L
)
=
L
⋅
(
r
×
p
)
=
L
⋅
L
=
L
2
{\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\mathbf {L} \cdot \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)=\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}
所以，
A
r
cos
θ
=
L
2
−
m
k
r
{\displaystyle Ar\cos \theta =L^{2}-mkr}
编排成圆锥曲线 的方程形式：
1
r
=
m
k
L
2
(
1
+
A
m
k
cos
θ
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}
离心率
e
{\displaystyle e}
e
=
A
m
k
=
|
A
|
m
k
{\displaystyle e={\frac {A}{mk}}={\frac {\left|\mathbf {A} \right|}{mk}}}
开普勒轨道与能量的关系可以由LRL矢量推导出。
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
⋅
A
=
(
p
×
L
−
m
k
r
^
)
⋅
(
p
×
L
−
m
k
r
^
)
=
p
2
L
2
+
m
2
k
2
−
2
m
k
r
^
⋅
(
p
×
L
)
=
(
2
m
E
+
2
m
k
r
)
L
2
+
m
2
k
2
−
2
m
k
r
L
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} &=(\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} )\cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} )\\&=p^{2}L^{2}+m^{2}k^{2}-2mk{\hat {\mathbf {r} }}\cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {L} )\\&=\left(2mE+{\frac {2mk}{r}}\right)L^{2}+m^{2}k^{2}-{\frac {2mk}{r}}L^{2}\\\end{aligned}}}
。 所以，
A
2
=
m
2
k
2
+
2
m
E
L
2
{\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}
稍微编排，离心率的平方
e
2
{\displaystyle e^{2}}
E
{\displaystyle E}
e
2
=
1
+
2
L
2
m
k
2
E
{\displaystyle e^{2}=1+{\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E}
假若能量
E
{\displaystyle E}
束缚轨道 ），则离心率小于1，这轨道是椭圆 形轨道。相反地，假若能量是正值的（非束缚轨道 ，又称为散射轨道 ）则离心率大于1，这轨道是双曲线 轨道。最后，假若能量等于零，则离心率等于1，这轨道是抛物线 轨道。对于所有状况，LRL矢量与圆锥曲线的对称轴平行，而且从力中心点 指向近拱点 。
图3 :在平方反比有心力作用下，随着粒子的轨道运动，使用速端曲线图，固定动量矢量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
y -轴，py -坐标为
A
/
L
{\displaystyle A/L}
m
k
/
L
{\displaystyle mk/L}
假设一个粒子在做轨道运动。其速度矢量的物理行为可以用速端曲线 显示出来，而动量是速度乘以质量。所以，速端曲线也可以显示出动量的物理行为。在平方反比有心力作用下，速端曲线（图3）显示出，粒子的动量矢量的头部呈圆形移动；这事实可以用LRL矢量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
[ 13] [ 6]
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
叉积 ：
L
2
p
=
L
×
A
−
m
k
r
^
×
L
{\displaystyle L^{2}\mathbf {p} =\mathbf {L} \times \mathbf {A} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {L} }
设定xyz参考系的圆点在力中心点 ，
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
半长轴 同轴。则
p
x
2
+
(
p
y
−
A
/
L
)
2
=
(
m
k
/
L
)
2
{\displaystyle p_{x}^{2}+\left(p_{y}-A/L\right)^{2}=\left(mk/L\right)^{2}}
换句话说，动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
m
k
/
L
{\displaystyle mk/L}
(
0
,
A
/
L
)
{\displaystyle (0,\ A/L)}
开普勒问题 的对称性 。
夹角
η
{\displaystyle \eta }
y -轴。很显然地，离心率等于
cos
η
{\displaystyle \cos \eta }
p
0
=
2
m
|
E
|
{\displaystyle p_{0}={\sqrt {2m\left|E\right|}}}
在开普勒问题里，两个矢量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
E
{\displaystyle E}
A
⋅
L
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {L} =0}
A
2
=
m
2
k
2
+
2
m
E
L
2
{\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
E
{\displaystyle E}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
由于有上述两个关系公式，这物理系统一共有五个独立的运动常数 。这结果与设定粒子轨道所需的六个初始条件（粒子的初始位置矢量与初始速度矢量，每一个矢量有三个分量）相符合，原因是运动常数不涉及初始时间（视六个初始条件函数的参数为自变量 初始时间。用其中的一个初始条件函数除去这自变量；将此初始条件函数当作一个自变量，则剰余五个初始条件函数，函数的参数为新自变量）。
因为运动方程 是二阶微分方程，一个拥有
d
{\displaystyle d}
自由度 的物理系统，需要
2
d
{\displaystyle 2d}
初始条件 来设定解答。由于运动常数不涉及初始时间，这物理系统最多只能拥有
2
d
−
1
{\displaystyle 2d-1}
运动常数 。一个拥有超过
d
{\displaystyle d}
超级可积分系统 ；而一个拥有
2
d
−
1
{\displaystyle 2d-1}
最大超级可积分系统 [ 18] 哈密顿-亚可比方程 的解答，采用任意一种坐标系统，最多只能求得
d
{\displaystyle d}
[ 19]
开普勒问题拥有三个自由度（
d
=
3
{\displaystyle d=3}
球坐标 或抛物线坐标 ，哈密顿－亚可比方程都是可积分的[ 20] 解释 。最大超级可积分系统可以用对易关系 来量子化 ，这论据，稍后也会又更明了的说明 [ 21]
图5：椭圆轨道的慢进动 ，离心率
e
=
0.667
{\displaystyle e=0.667}
进动 就会发生 只有在一个标准的平方反比 有心力 下，粒子的LRL矢量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
平方反比定律 ，而可能会含有别种摄动 的有心力；称其负值不定积分 为摄动势 ，标记为
h
(
r
)
{\displaystyle h(r)}
慢进动 。假若摄动势
h
(
r
)
{\displaystyle h(r)}
保守的 连心势，也就是说，总能量
E
{\displaystyle E}
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle A}
h
(
r
)
{\displaystyle h(r)}
h
(
r
)
=
−
h
r
n
{\displaystyle h(r)=-\ {\frac {h}{r^{n}}}}
其中，
h
{\displaystyle h}
n
≤
2
{\displaystyle n\leq 2}
用正则摄动理论 与作用量-角度坐标 ，可以直接地推导出LRL矢量的转动率是[ 1]
Ω
¯
=
∂
∂
L
⟨
h
(
r
)
⟩
=
∂
∂
L
{
1
T
∫
0
T
h
(
r
)
d
t
}
=
∂
∂
L
{
m
T
L
∫
0
2
π
r
2
h
(
r
)
d
θ
}
{\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Omega }}={\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}h(r)\,\mathrm {d} t\right\}\\&={\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{TL}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,\mathrm {d} \theta \right\}\\\end{aligned}}}
； 其中，
T
{\displaystyle T}
恒等式
L
d
t
=
m
r
2
d
θ
{\displaystyle Ldt=mr^{2}\mathrm {d} \theta }
⟨
h
(
r
)
⟩
{\displaystyle \langle h(r)\rangle }
这方法曾经被用来证实爱因斯坦 的广义相对论 。广义相对论在常见的牛顿万有引力 项目外，又添加了一项小的反立方摄动[ 22]
h
(
r
)
=
k
L
2
m
2
c
2
(
1
r
3
)
{\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}
将此函数代入积分。再代入
r
{\displaystyle r}
θ
{\displaystyle \theta }
1
r
=
m
k
L
2
(
1
+
A
m
k
cos
θ
)
{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}
就可以计算出这非牛顿摄动所产生的近拱点 进动率[ 22]
Ω
¯
=
6
π
k
2
T
L
2
c
2
{\displaystyle {\bar {\Omega }}={\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}}
计算出的答案准确地符合实验观测到的水星 进动 数据[ 23] 双重 脉冲星 数据[ 24] 广义相对论 的强证[ 25] [ 26]
角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
i
{\displaystyle L_{i}}
帕松括号 是[ 1]
{
L
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
其中，指标
i
,
j
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i,\ j=1,\ 2,\ 3}
直角坐标系 的三个坐标
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
ϵ
i
j
s
{\displaystyle \epsilon _{ijs}}
列维-奇维塔符号 ；在这里，为了避免与力强度的标记
k
{\displaystyle k}
s
{\displaystyle s}
定义一个与LRL矢量成比例的矢量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
D
=
A
2
m
|
E
|
{\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{\sqrt {2m\left|E\right|}}}}
矢量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
[ 27]
{
D
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
D
s
{\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}}
矢量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
双曲线 轨道），或负值（在平方反比有心力作用下，产生闭合地椭圆 轨道）有关。假若总能量
E
{\displaystyle E}
{
D
i
,
D
j
}
=
−
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=-\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
反之，假若总能量
E
{\displaystyle E}
{
D
i
,
D
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
由于以下这三个帕松括号方程，
{
L
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
{
D
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
D
s
{\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}}
{
D
i
,
D
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
如果总能量
E
{\displaystyle E}
旋转群 SO(4)。
假若总能量
E
{\displaystyle E}
卡西米尔不变量
C
1
,
C
2
{\displaystyle C_{1},\ C_{2}}
C
1
=
D
⋅
D
+
L
⋅
L
=
m
k
2
2
|
E
|
{\displaystyle C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2\left|E\right|}}}
C
2
=
D
⋅
L
=
0
{\displaystyle C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0}
而且，卡西米尔不变量与
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
{
C
1
,
D
i
}
=
{
C
2
,
D
i
}
=
0
{\displaystyle \{C_{1},D_{i}\}=\{C_{2},D_{i}\}=0}
还有，卡西米尔不变量与
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
{
C
1
,
L
i
}
=
{
C
2
,
L
i
}
=
0
{\displaystyle \{C_{1},L_{i}\}=\{C_{2},L_{i}\}=0}
既然两个矢量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
C
2
{\displaystyle C_{2}}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
m
{\displaystyle m}
k
{\displaystyle k}
E
{\displaystyle E}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
D
i
{\displaystyle D_{i}}
L
i
{\displaystyle L_{i}}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
量子力学 的正则对易关系 ，就可以推导出类氢原子 的原子能级 ，而不必用到的薛定谔方程 。
图6：从LRL矢量算符与角动量算符的对易关系，预测出来的氢原子的原子能级。各种实验都准确地证实这些能级正确无误。 帕松括号提供了一个简易的方法来正则量子化 经典系统。两个量子算符 的对易关系 等于
i
ℏ
{\displaystyle i\hbar }
[ 28] 卡西米尔算符
C
1
{\displaystyle C_{1}}
本征值 ，沃尔夫冈·包利 成功地推导出类氢原子 的原子能级 （参阅图6），以及其发射光谱 [ 3] 薛定谔方程 成立之前[ 29]
LRL矢量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
叉积 必须仔细地加以定义[ 27]
A
k
≡
−
m
e
α
r
^
k
+
1
2
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
ϵ
i
j
k
(
p
i
l
j
+
l
j
p
i
)
{\displaystyle A_{k}\equiv -m_{e}\alpha {\hat {r}}_{k}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{ijk}\left(p_{i}l_{j}+l_{j}p_{i}\right)}
其中，
m
e
{\displaystyle m_{e}}
α
=
e
2
4
π
ϵ
0
{\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}}
e
{\displaystyle e}
单位电荷量 ，
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
真空电容率 。
这定义有一个特性：指标
i
,
j
{\displaystyle i,\ j}
i
,
j
{\displaystyle i,\ j}
A
k
{\displaystyle A_{k}}
A
=
−
m
e
α
r
^
+
1
2
(
p
×
L
−
L
×
p
)
{\displaystyle \mathbf {A} =-m_{e}\alpha {\hat {r}}+{\frac {1}{2}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {L} \times \mathbf {p} )}
那么，其对应的哈密顿算符 是
H
=
p
2
2
m
e
−
α
r
{\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m_{e}}}-{\frac {\alpha }{r}}}
与
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
D
=
A
−
2
m
e
H
{\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{\sqrt {-2m_{e}H}}}}
请注意，由于哈密顿算符的本征值是负值，所以公式内的平方根是个实数。
经过一番繁冗的运算，可以求得对易关系：
{
L
i
,
L
j
}
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle \{L_{i},\,L_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
{
L
i
,
D
j
}
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
D
k
{\displaystyle \{L_{i},\,D_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}D_{k}}
{
D
i
,
D
j
}
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle \{D_{i},\,D_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
{
H
,
D
i
}
=
0
{\displaystyle \{H,\,D_{i}\}=0}
定义第一阶张量 算符 为
J
0
≡
D
3
{\displaystyle J_{0}\equiv D_{3}}
J
±
1
≡
∓
1
2
(
D
1
±
i
D
2
)
{\displaystyle J_{\pm 1}\equiv \mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(D_{1}\pm iD_{2}\right)}
一个归一化 的第一卡西米尔算符可以同样地定义为
C
1
≡
D
2
+
L
2
=
m
e
α
2
−
2
H
−
ℏ
2
{\displaystyle C_{1}\equiv \mathbf {D} ^{2}+\mathbf {L} ^{2}={\frac {m_{e}\alpha ^{2}}{-2H}}-\hbar ^{2}}
注意到
J
+
1
{\displaystyle J_{+1}}
J
−
1
{\displaystyle J_{-1}}
{
J
+
1
,
J
−
1
}
=
i
{
D
1
,
D
2
}
=
−
ℏ
L
3
{\displaystyle \{J_{+1},J_{-1}\}=i\{D_{1},\,D_{2}\}=-\hbar L_{3}}
应用维格纳-埃卡特定理 （Wigner-Eckart theorem ），
J
0
|
l
,
m
⟩
=
i
l
2
−
m
2
C
l
|
l
−
1
,
m
⟩
−
i
(
l
+
1
)
2
−
m
2
C
l
+
1
|
l
+
1
,
m
⟩
{\displaystyle J_{0}|l,\,m\rangle =i{\sqrt {l^{2}-m^{2}}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m\rangle -i{\sqrt {(l+1)^{2}-m^{2}}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m\rangle }
J
+
1
|
l
,
m
⟩
=
−
i
(
l
−
m
)
(
l
−
m
−
1
)
/
2
C
l
|
l
−
1
,
m
+
1
⟩
−
i
(
l
+
m
+
1
)
(
l
+
m
+
2
)
/
2
C
l
+
1
|
l
+
1
,
m
+
1
⟩
{\displaystyle J_{+1}|l,\,m\rangle =-i{\sqrt {(l-m)(l-m-1)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m+1\rangle -i{\sqrt {(l+m+1)(l+m+2)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m+1\rangle }
J
−
1
|
l
,
m
⟩
=
−
i
(
l
+
m
)
(
l
+
m
−
1
)
/
2
C
l
|
l
−
1
,
m
−
1
⟩
−
i
(
l
−
m
+
1
)
(
l
−
m
+
2
)
/
2
C
l
+
1
|
l
+
1
,
m
−
1
⟩
{\displaystyle J_{-1}|l,\,m\rangle =-i{\sqrt {(l+m)(l+m-1)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m-1\rangle -i{\sqrt {(l-m+1)(l-m+2)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m-1\rangle }
其中，
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle |l,\,m\rangle }
角量子数 为
l
{\displaystyle l}
磁量子数 为
l
{\displaystyle l}
本征态 ，
C
l
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}
经过一番运算，
J
+
1
{\displaystyle J_{+1}}
J
−
1
{\displaystyle J_{-1}}
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle |l,\,m\rangle }
{
J
+
1
,
J
−
1
}
|
l
,
m
⟩
=
−
m
[
(
2
l
−
1
)
C
l
2
−
(
2
l
+
3
)
C
l
+
1
2
]
|
l
,
m
⟩
=
−
ℏ
L
3
|
l
,
m
⟩
=
−
m
ℏ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\{J_{+1},\,J_{-1}\}|l,\,m\rangle &=-m[(2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}]|l,\,m\rangle \\&=-\hbar L_{3}|l,\,m\rangle =-m\hbar ^{2}\\\end{aligned}}}
。 所以，
C
l
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}
递回关系 是
(
2
l
−
1
)
C
l
2
−
(
2
l
+
3
)
C
l
+
1
2
=
ℏ
2
{\displaystyle (2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}=\hbar ^{2}}
假设
C
l
2
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}^{2}}
l
>
0
{\displaystyle l>0}
l
{\displaystyle l}
l
m
a
x
{\displaystyle l_{max}}
|
l
m
a
x
+
1
,
⟩
{\displaystyle |l_{max}+1,\,\ \rangle }
C
l
m
a
x
+
1
=
0
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l_{max}+1}=0}
C
l
m
a
x
=
ℏ
2
2
l
m
a
x
−
1
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l_{max}}={\frac {\hbar ^{2}}{2l_{max}-1}}}
n
=
l
m
a
x
−
1
{\displaystyle n=l_{max}-1}
C
l
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}
C
l
=
n
2
−
l
2
4
l
2
−
1
ℏ
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}={\sqrt {\frac {n^{2}-l^{2}}{4l^{2}-1}}}\ \hbar }
这个
n
{\displaystyle n}
主量子数 。先计算
D
2
{\displaystyle D^{2}}
D
2
|
n
,
l
,
m
⟩
=
[
J
+
1
J
−
1
+
J
−
1
J
+
1
+
J
0
2
]
|
n
,
l
,
m
⟩
=
(
n
2
−
l
2
−
l
−
1
)
ℏ
2
|
n
,
l
,
m
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}|n,\,l,\,m\rangle &=[J_{+1}J_{-1}+J_{-1}J_{+1}+J_{0}^{2}]|n,\,l,\,m\rangle \\&=(n^{2}-l^{2}-l-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle \\\end{aligned}}}
。 所以，第一卡西米尔算符
C
1
{\displaystyle C_{1}}
|
n
,
l
,
m
⟩
{\displaystyle |n,\,l,\,m\rangle }
C
1
|
n
,
l
,
m
⟩
=
(
D
2
+
L
2
)
|
n
,
l
,
m
⟩
=
(
n
2
−
1
)
ℏ
2
|
n
,
l
,
m
⟩
{\displaystyle C_{1}|n,\,l,\,m\rangle =(D^{2}+L^{2})|n,\,l,\,m\rangle =(n^{2}-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle }
第一卡西米尔算符
C
1
{\displaystyle C_{1}}
(
n
2
−
1
)
ℏ
2
{\displaystyle (n^{2}-1)\hbar ^{2}}
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
原子能级 的简并 [ 27]
E
n
=
−
m
e
α
2
2
ℏ
2
n
2
=
−
m
e
e
4
2
n
2
(
4
π
ϵ
0
)
2
ℏ
2
{\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}\alpha ^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2n^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}}
这就是著名的氢原子 玻尔公式 。
在开普勒问题里，LRL矢量的保守性对应于系统的一种微妙的对称性 。在经典力学 里，对称性可以由连续运算显示出来；这连续运算可以将一个轨道映射 至另外一个轨道，而同时保持系统的能量不变。在量子力学 里，连续运算将同能级 原子轨域 混合在一起，也就是说，（简并原子能级 ）。
通常，对于每一个对称性都会存在有一个保守量[ 1] 有心力 系统必对称于旋转群 SO(3) ；因而指引出角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
经典力学 里，整个系统的旋转不会影响轨道的能量。在量子力学 里，假若旋转只混合角量子数 相同的球谐函数 ，则系统的能量不会改变。
图7：同能量的动量的速端曲线家族。每一个圆圈都经过在px -轴上，同样的两点
±
p
0
=
±
2
m
|
E
|
{\displaystyle \pm p_{0}=\pm {\sqrt {2m\left|E\right|}}}
阿波罗尼奥斯圆 ，和双极坐标 的
σ
{\displaystyle \sigma }
坐标曲面 。 平方反比有心力系统的对称性是更高维与更微妙的。这奇特的对称性是由角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
氢原子 的能级跟角量子数
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
更高维空间 ，使得这对称性更加的微妙；这类的对称性常称为隐秘对称性 [ 30]
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
s
(
l
=
0
)
{\displaystyle s(l=0)}
p
(
l
=
1
)
{\displaystyle p(l=1)}
原子轨域 的混合。这种混合是不能用普通的三维平移运算或旋转运算达成的。可是，这种混合等价于高维度空间的旋转。
在一个束缚（bounded）系统里，能量是负值的，这高维对称群 是SO(4)；特性是四维矢量的长度保持不变：
|
e
|
2
=
e
1
2
+
e
2
2
+
e
3
2
+
e
4
2
{\displaystyle \left|\mathbf {e} \right|^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}+e_{4}^{2}}
1935年，弗拉基米尔·福克 表明，在量子力学里，束缚的开普勒问题等价于一个粒子自由地移动于四维空间的三维单位球 [ 4] 薛定谔 波函数 是球谐函数 的球极平面投影 。圆球的旋转与重复射影造成了椭圆轨域的连续映射 ，同时维持能量不变；这对应于主量子数
n
{\displaystyle n}
华伦泰·巴格曼 注意到，跟LRL矢量成比例的矢量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
帕松括号 形成SO(4)的李代数 [ 5]
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
在一个非束缚（unbound），散射 系统里，能量是正值的，对应的高维对称群 是SO(3,1)；其特性是保持四维矢量 的闵可夫斯基长度 不变：
d
s
2
=
e
1
2
+
e
2
2
+
e
3
2
−
e
4
2
{\displaystyle ds^{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}-e_{4}^{2}}
有心力系统（包括开普勒问题的那些系统）的轨道对于反射 也具有对称性。所以，轨道的完全对称群并不是前面所提的SO(3) 、SO(4)、SO(3,1)群；而分别是O(3) 、O(4) 、O(3,1)。然而，只需要连通 子群 SO(3)、SO(4)、SO(3,1)来展示出角动量与LRL矢量的保守性；反射对称性与保守性不相关。保守性可以由群的李代数 推导出来[ 31] [ 32]
图8：图7的动量的速端曲线对应于
η
{\displaystyle \eta }
三维单位球 的大圆线 的球极平面投影 。每一个大圆线都与
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
w
{\displaystyle w}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
α
{\displaystyle \alpha }
离心率
e
=
s
i
n
α
{\displaystyle e=sin\ \alpha }
开普勒问题 与四维旋转对称性SO(4)的关联可以很容易地观察出来[ 31] [ 33] [ 34] 直角坐标 为
(
w
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (w,\ x,\ y,\ z)}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
三维单位球 的四维矢量
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
η
=
p
2
−
p
0
2
p
2
+
p
0
2
w
^
+
2
p
0
p
2
+
p
0
2
p
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\displaystyle {\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} }
； 其中，
w
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }
很简单地，可以核对
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
η
=
η
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\hat {\boldsymbol {\eta }}}}
从
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
η
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}
映射 有一个独特唯一的逆反；例如，动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
p
x
=
p
0
η
x
1
−
η
w
{\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}}
p
y
{\displaystyle p_{y}}
p
z
{\displaystyle p_{z}}
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
η
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}
球极平面投影 ，其比例因子为
p
0
{\displaystyle p_{0}}
选择一个合适的直角坐标，使z-轴与角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
取向 如同图7，圆心包含于y-轴。这样，不失广义性，就可以观察到这旋转对称性。由于粒子的运动包含于一个平面，
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
p
z
=
η
z
=
0
{\displaystyle p_{z}=\eta _{z}=0}
η
^
=
(
η
w
,
η
x
,
η
y
)
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}=(\eta _{w},\ \eta _{x},\ \eta _{y})}
阿波罗尼奥斯圆 家族对应于在三维单位球
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
大圆线 家族。每一个大圆线与
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
=
±
1
{\displaystyle \eta _{x}=\pm 1}
p
x
=
±
p
0
{\displaystyle p_{x}=\pm p_{0}}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
η
y
{\displaystyle \eta _{x}\eta _{y}}
α
{\displaystyle \alpha }
取任意一个大圆线
η
y
{\displaystyle \eta _{y}}
(
η
w
,
0
,
η
y
,
0
)
{\displaystyle (\eta _{w},\ 0,\ \eta _{y},\ 0)}
p
x
=
0
{\displaystyle p_{x}=0}
p
y
=
p
=
(
A
+
m
k
)
/
L
{\displaystyle p_{y}=p=(A+mk)/L}
η
y
=
cos
(
α
)
=
2
p
0
p
y
p
y
2
+
p
0
2
{\displaystyle \eta _{y}=\cos(\alpha )={\frac {2p_{0}p_{y}}{p_{y}^{2}+p_{0}^{2}}}}
经过一番运算，代入
p
0
{\displaystyle p_{0}}
sin
(
α
)
=
p
y
2
−
p
0
2
p
y
2
+
p
0
2
=
(
A
+
m
k
)
2
−
2
m
|
E
|
L
2
(
A
+
m
k
)
2
+
2
m
|
E
|
L
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha )&={\frac {p_{y}^{2}-p_{0}^{2}}{p_{y}^{2}+p_{0}^{2}}}\\&={\frac {(A+mk)^{2}-2m|E|L^{2}}{(A+mk)^{2}+2m|E|L^{2}}}\\\end{aligned}}}
。 给予一个束缚轨道，能量是负值的：
sin
(
α
)
=
(
A
+
m
k
)
2
+
2
m
E
L
2
(
A
+
m
k
)
2
−
2
m
E
L
2
=
A
m
k
=
e
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha )&={\frac {(A+mk)^{2}+2mEL^{2}}{(A+mk)^{2}-2mEL^{2}}}\\&={\frac {A}{mk}}=e\\\end{aligned}}}
。 所以，离心率
e
=
sin
(
α
)
{\displaystyle e=\sin(\alpha )}
α
{\displaystyle \alpha }
正弦函数 。
由于图7的动量的速端曲线对应于
η
{\displaystyle \eta }
η
w
{\displaystyle \eta _{w}}
采用椭圆柱坐标
χ
,
ψ
,
ϕ
{\displaystyle \chi ,\ \psi ,\ \phi }
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
作用量-角度坐标 解答[ 35]
η
w
=
c
n
χ
c
n
ψ
{\displaystyle \eta _{w}=\mathrm {cn} \,\chi \ \mathrm {cn} \,\psi }
η
x
=
s
n
χ
d
n
ψ
cos
ϕ
{\displaystyle \eta _{x}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \cos \phi }
η
y
=
s
n
χ
d
n
ψ
sin
ϕ
{\displaystyle \eta _{y}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \sin \phi }
η
z
=
d
n
χ
s
n
ψ
{\displaystyle \eta _{z}=\mathrm {dn} \,\chi \ \mathrm {sn} \,\psi }
其中，
s
n
,
c
n
,
d
n
{\displaystyle \mathrm {sn} ,\,\mathrm {cn} ,\,\mathrm {dn} }
雅可比椭圆函数 。
以下几种导引可以证明，在平方反比有心力下，LRL矢量守恒。
假设，一个有心力
f
(
r
)
r
^
{\displaystyle f(\mathbf {r} ){\hat {\mathbf {r} }}}
牛顿第二定律 ，运动方程为
d
p
d
t
=
f
(
r
)
r
^
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=f(\mathbf {r} ){\hat {\mathbf {r} }}}
其中，
f
(
r
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} )}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
t
{\displaystyle t}
由于在有心力下，角动量
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
d
d
t
L
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {L} =0}
所以，
d
d
t
(
p
×
L
)
=
d
p
d
t
×
L
=
f
(
r
)
r
^
×
(
r
×
m
d
r
d
t
)
=
f
(
r
)
m
r
[
r
(
r
⋅
d
r
d
t
)
−
r
2
d
r
d
t
]
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {L} =f(\mathbf {r} )\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)=f(\mathbf {r} ){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right]}
代入以下恒等式 ：
r
⋅
d
r
d
t
=
1
2
d
d
t
(
r
⋅
r
)
=
1
2
d
d
t
(
r
2
)
=
r
d
r
d
t
{\displaystyle \mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(r^{2}\right)=r{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}}
可以得到方程，
d
d
t
(
p
×
L
)
=
−
m
f
(
r
)
r
2
[
1
r
d
r
d
t
−
r
r
2
d
r
d
t
]
=
−
m
f
(
r
)
r
2
d
d
t
(
r
r
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(\mathbf {r} )r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\right]=-mf(\mathbf {r} )r^{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}
代入平方反比有心力的方程
f
(
r
)
=
−
k
r
2
{\displaystyle f(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r^{2}}}}
d
d
t
(
p
×
L
)
=
m
k
d
d
t
(
r
r
)
=
d
d
t
(
m
k
r
^
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=mk{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)}
所以，在平方反比有心力下，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
d
d
t
A
=
d
d
t
(
p
×
L
)
−
d
d
t
(
m
k
r
^
)
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=0}
哈密顿-雅可比方程 的可分性也可以用推导出LRL矢量的恒定性[ 20] [ 36] 抛物线坐标
(
ξ
,
η
)
{\displaystyle (\xi ,\ \eta )}
ξ
=
r
+
x
{\displaystyle \xi =r+x}
η
=
r
−
x
{\displaystyle \eta =r-x}
其中，
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,\ y)}
直角坐标 ，
r
{\displaystyle r}
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
逆反过来，
x
=
1
2
(
ξ
−
η
)
{\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(\xi -\eta \right)}
y
=
ξ
η
{\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}}
则开普勒问题的哈密顿量 为
H
=
1
2
m
x
˙
2
+
1
2
m
y
˙
2
−
k
r
=
2
ξ
p
ξ
2
m
(
ξ
+
η
)
+
2
η
p
η
2
m
(
ξ
+
η
)
−
2
k
ξ
+
η
{\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {y}}^{2}-{\frac {k}{r}}\\&={\frac {2\xi p_{\xi }^{2}}{m(\xi +\eta )}}+{\frac {2\eta p_{\eta }^{2}}{m(\xi +\eta )}}-{\frac {2k}{\xi +\eta }}\\\end{aligned}}}
； 其中，
p
ξ
,
p
η
{\displaystyle p_{\xi },\ p_{\eta }}
广义坐标
ξ
,
η
{\displaystyle \xi ,\ \eta }
由于开普勒问题的势函数只跟广义坐标有关，哈密顿量是个能量运动常数，
H
=
E
{\displaystyle H=E}
2
ξ
p
ξ
2
−
m
k
−
m
E
ξ
=
−
2
η
p
η
2
+
m
k
+
m
E
η
{\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-2\eta p_{\eta }^{2}+mk+mE\eta }
这公式的左手边与右手边分别跟不同的广义坐标有关，所以，两边都相等于一个运动常数 ，标记为
Γ
{\displaystyle \Gamma }
2
ξ
p
ξ
2
−
m
k
−
m
E
ξ
=
−
Γ
{\displaystyle 2\xi p_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\Gamma }
2
η
p
η
2
−
m
k
−
m
E
η
=
Γ
{\displaystyle 2\eta p_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\Gamma }
思考LRL矢量的
x
{\displaystyle x}
A
x
=
p
y
(
x
p
y
−
y
p
x
)
−
m
k
x
r
=
x
p
y
2
−
y
p
x
p
y
−
m
k
+
m
η
k
r
{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=p_{y}(xp_{y}-yp_{x})-mk{\frac {x}{r}}\\&=xp_{y}^{2}-yp_{x}p_{y}-mk+m\eta {\frac {k}{r}}\\\end{aligned}}}
。 代入能量方程
E
=
1
2
m
v
2
−
k
r
{\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}}
A
x
=
x
p
y
2
−
y
p
x
p
y
+
1
2
m
2
v
2
η
−
m
k
−
m
E
η
{\displaystyle A_{x}=xp_{y}^{2}-yp_{x}p_{y}+{\frac {1}{2}}m^{2}v^{2}\eta -mk-mE\eta }
这公式右手边，前三个项目，经过一番计算，可以得到
x
p
y
2
−
y
p
x
p
y
+
1
2
m
2
v
2
η
=
m
2
8
η
˙
2
(
η
+
ξ
)
2
η
=
2
η
p
η
2
{\displaystyle xp_{y}^{2}-yp_{x}p_{y}+{\frac {1}{2}}m^{2}v^{2}\eta ={\frac {m^{2}}{8}}{\dot {\eta }}^{2}{\frac {(\eta +\xi )^{2}}{\eta }}=2\eta p_{\eta }^{2}}
所以，
A
x
{\displaystyle A_{x}}
A
x
=
Γ
{\displaystyle A_{x}=\Gamma }
LRL矢量的保守性与前面所提的旋转对称性，两者之间的关系，可以用诺特定理 来做连结分析。诺特定理也可以用来辨明LRL矢量是运动常数 。诺特定理表明[ 37] 广义坐标
q
i
{\displaystyle q_{i}}
δ
q
i
=
ϵ
g
i
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle \delta q_{i}=\epsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {\dot {q}} ,\ t)}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
拉格朗日量
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
变分
δ
L
{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}
δ
L
=
ϵ
d
d
t
G
(
q
,
t
)
{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\epsilon {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(\mathbf {q} ,\ t)}
则必存在保守量
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
=
−
G
+
∑
i
g
i
(
∂
L
∂
q
˙
i
)
{\displaystyle \Gamma =-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)}
其中，
g
i
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle g_{i}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {\dot {q}} ,\ t)}
G
(
q
,
t
)
{\displaystyle G(\mathbf {q} ,\ t)}
更具体地，在一个开普勒问题里，试设定坐标
x
i
{\displaystyle x_{i}}
δ
x
i
=
ϵ
2
[
2
p
i
x
s
−
x
i
p
s
−
(
r
⋅
p
)
δ
i
s
]
{\displaystyle \delta x_{i}={\frac {\epsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )\delta _{is}\right]}
其中，
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i=1,\ 2,\ 3}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
i
{\displaystyle i}
δ
i
s
{\displaystyle \delta _{is}}
克罗内克尔δ ，
s
{\displaystyle s}
由于开普勒问题的拉格朗日量是
L
=
∑
i
(
1
2
m
x
˙
i
x
˙
i
)
+
k
r
{\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}\right)+{\frac {k}{r}}}
其运动方程 为
m
x
¨
i
+
k
x
i
r
3
=
0
{\displaystyle m{\ddot {x}}_{i}+k{\frac {x_{i}}{r^{3}}}=0}
对应于坐标
x
i
{\displaystyle x_{i}}
x
˙
i
{\displaystyle {\dot {x}}_{i}}
δ
x
˙
i
=
ϵ
2
[
2
p
˙
i
x
s
−
x
i
p
˙
s
+
p
i
x
˙
s
−
p
2
m
δ
i
s
−
(
r
⋅
p
˙
)
δ
i
s
]
=
ϵ
2
[
−
k
r
3
x
i
x
s
+
p
i
x
˙
s
−
p
2
m
δ
i
s
+
k
r
δ
i
s
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\dot {x}}_{i}&={\frac {\epsilon }{2}}\left[2{\dot {p}}_{i}x_{s}-x_{i}{\dot {p}}_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}-(\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {p} }})\delta _{is}\right]\\&={\frac {\epsilon }{2}}\left[-{\frac {k}{r^{3}}}x_{i}x_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}+{\frac {k}{r}}\delta _{is}\right]\\\end{aligned}}}
。 拉格朗日量取至一阶的变分是
δ
L
=
∑
i
(
∂
L
∂
x
i
δ
x
i
+
∂
L
∂
x
˙
i
δ
x
˙
i
)
=
∑
i
(
−
k
x
i
r
3
δ
x
i
+
m
x
˙
i
δ
x
˙
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {L}}&=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\delta x_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\delta {\dot {x}}_{i}\right)\\&=\sum _{i}\left(-{\frac {kx_{i}}{r^{3}}}\delta x_{i}+m{\dot {x}}_{i}\delta {\dot {x}}_{i}\right)\\\end{aligned}}}
。 代入
δ
x
i
{\displaystyle \delta x_{i}}
δ
x
˙
i
{\displaystyle \delta {\dot {x}}_{i}}
δ
L
=
ϵ
m
k
d
d
t
(
x
s
r
)
{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\epsilon mk{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)}
再代入保守量
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
=
p
2
x
s
−
p
s
(
r
⋅
p
)
−
m
k
x
s
r
=
[
p
×
L
−
m
k
r
^
]
s
{\displaystyle \Gamma =p^{2}x_{s}-p_{s}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)-{\frac {mkx_{s}}{r}}=\left[\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\right]_{s}}
而这正是LRL矢量的
s
{\displaystyle s}
A
s
{\displaystyle A_{s}}
图9:推导出LRL矢量保守性的李变换。当这比例参数
λ
{\displaystyle \lambda }
e
{\displaystyle e}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
诺特定理 精致地推导出LRL矢量的保守性。美中不足地，这导引有一个弱点：坐标变分
δ
x
i
{\displaystyle \delta x_{i}}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
[ 38] 索菲斯·李 创建的方法来推导，可以除去这弱点[ 39] [ 40] 李变换 [ 30]
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
t
{\displaystyle t}
λ
{\displaystyle \lambda }
t
→
λ
3
t
,
r
→
λ
2
r
,
p
→
1
λ
p
{\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{3}t,\ \mathbf {r} \rightarrow \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\ \mathbf {p} \rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} }
这变换改变了角动量
L
{\displaystyle L}
E
{\displaystyle E}
L
→
λ
L
,
E
→
1
λ
2
E
{\displaystyle L\rightarrow \lambda L,\ E\rightarrow {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E}
可是，仍旧保持乘积
E
L
2
{\displaystyle EL^{2}}
e
{\displaystyle e}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
2
{\displaystyle A^{2}}
A
2
=
m
2
k
2
e
2
=
m
2
k
2
+
2
m
E
L
2
{\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}
由于半短轴 与半长轴 的取向不因整体的比例变换而改变，LRL矢量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
开普勒第三定律 也仍旧成立：半长轴
a
{\displaystyle a}
T
{\displaystyle T}
T
2
/
a
3
{\displaystyle {T^{2}}/{a^{3}}}
LRL矢量可以推广至其他状况；可以用来辨认在其他状况下的保守值。
假设，一个物理系统里，存在着电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
[ 20] [ 41]
A
=
A
+
m
q
2
[
(
r
×
E
)
×
r
]
{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right]}
其中，
q
{\displaystyle q}
电荷量 。
最广义的LRL矢量的形式可以表达为[ 8]
A
=
(
∂
ξ
∂
u
)
(
p
×
L
)
+
[
ξ
−
u
(
∂
ξ
∂
u
)
]
L
2
r
^
{\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} }
其中，
u
=
1
r
{\displaystyle u={\frac {1}{r}}}
伯特兰定理 ），
ξ
=
cos
θ
{\displaystyle \xi =\cos \theta }
θ
{\displaystyle \theta }
θ
=
L
∫
u
d
u
m
2
c
2
(
γ
2
−
1
)
−
L
2
u
2
{\displaystyle \theta =L\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}\left(\gamma ^{2}-1\right)-L^{2}u^{2}}}}}
其中，
γ
{\displaystyle \gamma }
洛伦兹因子 。
如同前面所提，计算
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
副法线矢量
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
B
=
L
×
A
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}}
综和两个矢量成为一个保守的并矢张量
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
W
=
α
A
⊗
A
+
β
B
⊗
B
{\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta \,{\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}}
举例说明，计算一个非相对论性，均向性谐振子 的LRL矢量。由于作用力是有心力 ，
F
(
r
)
=
−
k
r
{\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} }
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
并矢张量 可以表达为一个简单的形式：
W
=
1
2
m
p
⊗
p
+
k
2
r
⊗
r
{\displaystyle {\mathcal {W}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\,\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }
其相应的LRL矢量必较复杂
A
=
1
m
r
2
ω
0
A
−
m
r
2
E
+
L
2
{
(
p
×
L
)
+
(
m
r
ω
0
A
−
m
r
E
)
r
^
}
{\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega _{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\left\{\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left(mr\omega _{0}A-mrE\right)\mathbf {\hat {r}} \right\}}
其中，
ω
0
=
k
m
{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}
不同于动量与角动量，并没有学术界一致认同的LRL矢量定义；在科学文献里，存在有几种不同的比例因子与符号。前面所述的定义是最普遍的定义。另外一种常见的定义，将
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
m
k
{\displaystyle mk}
离心率矢量
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
e
=
1
m
k
(
p
×
L
)
−
r
^
=
m
k
(
v
×
L
)
−
r
^
{\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} }
其中，
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
离心率矢量
e
{\displaystyle \mathbf {e} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
离心率 。
别种比例的版本也可能会用到。例如，将
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
m
{\displaystyle m}
M
=
v
×
L
−
k
r
^
{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} }
或者，将
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
P
0
{\displaystyle P_{0}}
D
=
A
P
0
=
1
2
m
|
E
|
{
p
×
L
−
m
k
r
^
}
{\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{P_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m\left|E\right|}}}\left\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \right\}}
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
运动常数 的事实。
图4:角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
另外一个保守的矢量是副法线矢量
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
威廉·哈密顿 曾经研究过这矢量[ 7]
B
=
p
−
(
m
k
L
2
r
)
(
L
×
r
)
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)\ \left(\mathbf {L} \times \mathbf {r} \right)}
这保守的矢量与椭圆的半短轴同直线。
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
叉积
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
并矢张量
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
[ 8]
W
=
α
A
⊗
A
+
β
B
⊗
B
{\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha \mathbf {A} \otimes \mathbf {A} +\beta \,\mathbf {B} \otimes \mathbf {B} }
其中，
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
⊗
{\displaystyle \otimes }
张量积 。展开这公式为
W
i
j
=
α
A
i
A
j
+
β
B
i
B
j
{\displaystyle {\mathcal {W}}_{ij}=\alpha A_{i}A_{j}+\beta B_{i}B_{j}}
由于两个矢量互相垂直，
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
主轴 ，也就是说，按比例的特征矢量 。由于
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
W
{\displaystyle {\mathcal {W}}}
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
⋅
W
=
α
(
L
⋅
A
)
A
+
β
(
L
⋅
B
)
B
=
0
{\displaystyle \mathbf {L} \cdot {\mathcal {W}}=\alpha \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} \right)\mathbf {A} +\beta \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} =0}
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\{J_{+1},\,J_{-1}\}|l,\,m\rangle &=-m[(2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}]|l,\,m\rangle \\&=-\hbar L_{3}|l,\,m\rangle =-m\hbar ^{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844f6c9eb531cf97779cc113427ad90f87abc09b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}|n,\,l,\,m\rangle &=[J_{+1}J_{-1}+J_{-1}J_{+1}+J_{0}^{2}]|n,\,l,\,m\rangle \\&=(n^{2}-l^{2}-l-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b11aedb31d3da0ceaa1e7beb862334c35c60338)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {L} =f(\mathbf {r} )\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)=f(\mathbf {r} ){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936371c73c7d3c5aa64ce9cce60acfa9ad3e0c18)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(\mathbf {r} )r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\right]=-mf(\mathbf {r} )r^{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4414eb629de2e805e7a71bc5e445f5764d7f3361)
![{\displaystyle \delta x_{i}={\frac {\epsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )\delta _{is}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d576618d8d95e8b107f68fad05752a6f43b469a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\dot {x}}_{i}&={\frac {\epsilon }{2}}\left[2{\dot {p}}_{i}x_{s}-x_{i}{\dot {p}}_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}-(\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {p} }})\delta _{is}\right]\\&={\frac {\epsilon }{2}}\left[-{\frac {k}{r^{3}}}x_{i}x_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}+{\frac {k}{r}}\delta _{is}\right]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981d787295666d54338a8c532c0ae083c05a11da)
![{\displaystyle \Gamma =p^{2}x_{s}-p_{s}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)-{\frac {mkx_{s}}{r}}=\left[\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\right]_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ef928dbc05f2d2e0f957970239c5825369a218)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7580676c243ced8662d593f4ed5501154e3e120c)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb741e61862a023b299aa91f564340970424eb29)
