跳转到内容

施拉姆-勒夫纳演进

维基百科,自由的百科全书

概率论中,施拉姆-勒夫纳演变(Schramm–Loewner evolution,SLE)是一个平面曲线的家族以及统计力学模型的缩放极限

应用

勒夫纳演变

  • D单连通开集。D是复杂域,但是不等于C。
  • γ 是D中的一条曲线。γD 的边界开始。
  • 因为是单连通的,它通过共形映射等于D(黎曼映射理论)。
  • 同构
  • 反函数
  • t = 0,f0(z) = zg0(z) = z。
  • ζ(t)是驱动函数(driving function),接受D边界上的值

根据Loewner (1923,p. 121),Loewner方程英语Loewner differential equation

的关系是

施拉姆-勒夫纳演变

SL演变是一个勒夫纳方程,有下面的驱动函数

其中 B(t) 是D边界上的布朗运动

例如

属性

若SLE描述共形场论,central charge c等于

Beffara (2008) 表明了SLE的豪斯多夫维数是min(2, 1 + κ/8)。

Lawler, Schramm & Werner (2001) 用SLE6 证明Mandelbrot (1982)的猜想:平面布朗运动边界的分形维数是4/3。

Rohde和Schramm表明了曲线的分形维数

模拟

https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution(页面存档备份,存于互联网档案馆

参考文献

  1. ^ Lawler, Gregory F.; Schramm, Oded; Werner, Wendelin. Conformal invariance of planar loop-erased random walks and uniform spanning trees. Ann. Probab. 2004, 32 (1B): 939–995. arXiv:math/0112234可免费查阅. doi:10.1214/aop/1079021469. 
  2. ^ Kenyon, Richard. Long range properties of spanning trees. J. Math. Phys. 2000, 41 (3): 1338–1363. Bibcode:2000JMP....41.1338K. CiteSeerX 10.1.1.39.7560可免费查阅. doi:10.1063/1.533190. 
  3. ^ Schramm, Oded; Sheffield, Scott, Harmonic explorer and its convergence to SLE4., Annals of Probability, 2005, 33 (6): 2127–2148, JSTOR 3481779, arXiv:math/0310210可免费查阅, doi:10.1214/009117905000000477 
  4. ^ Smirnov, Stanislav. Critical percolation in the plane. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. 2001, 333 (3): 239–244. Bibcode:2001CRASM.333..239S. arXiv:0909.4499可免费查阅. doi:10.1016/S0764-4442(01)01991-7. 
  5. ^ Kesten, Harry. Scaling relations for 2D-percolation. Comm. Math. Phys. 1987, 109 (1): 109–156. Bibcode:1987CMaPh.109..109K. doi:10.1007/BF01205674. 
  6. ^ Smirnov, Stanislav; Werner, Wendelin. Critical exponents for two-dimensional percolation. Math. Res. Lett. 2001, 8 (6): 729–744 [2020-02-11]. arXiv:math/0109120可免费查阅. doi:10.4310/mrl.2001.v8.n6.a4. (原始内容 (PDF)存档于2021-03-08). 
  7. ^ Schramm, Oded; Steif, Jeffrey E. Quantitative noise sensitivity and exceptional times for percolation. Ann. of Math. 2010, 171 (2): 619–672. arXiv:math/0504586可免费查阅. doi:10.4007/annals.2010.171.619. 
  8. ^ Garban, Christophe; Pete, Gábor; Schramm, Oded. Pivotal, cluster and interface measures for critical planar percolation. J. Amer. Math. Soc. 2013, 26 (4): 939–1024. arXiv:1008.1378可免费查阅. doi:10.1090/S0894-0347-2013-00772-9. 
  9. ^ Smirnov, Stanislav. Critical percolation in the plane: conformal invariance, Cardy's formula, scaling limits. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. 2001, 333 (3): 239–244. Bibcode:2001CRASM.333..239S. ISSN 0764-4442. arXiv:0909.4499可免费查阅. doi:10.1016/S0764-4442(01)01991-7. 

阅读