格林恒等式

格林恒等式（Green's identities）乃是向量分析的一组共三条恒等式，以发现格林定理的英国数学家乔治·格林命名。

格林第一恒等式

设定向量场$\mathbf {F} =\psi \nabla \phi$；其中，在$\mathbb {R} ^{3}$的某区域$\mathbb {U}$内，$\phi$是二次连续可微标量函数，$\psi$是一次连续可微标量函数，则从散度定理，

$\int _{\mathbb {U} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S$，

可以推导出格林第一恒等式：

$\int _{\mathbb {U} }(\psi \nabla ^{2}\phi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi )\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\psi {\partial \phi \over \partial n}\,\mathrm {d} S$；

其中，$\partial \mathbb {U}$是区域$\mathbb {U}$的边界，${\frac {\partial }{\partial n}}$是取于边界面$\partial \mathbb {U}$的法向导数，即${\frac {\partial \phi }{\partial n}}=\nabla \phi \cdot \mathbf {n}$。

格林第二恒等式

假若在区域$\mathbb {U}$内，$\phi$和$\psi$都是二次连续可微，则可交换$\phi$与$\psi$，从$(\psi ,\phi )$的格林第一恒等式得到$(\phi ,\psi )$的格林第一恒等式。将这两个恒等式相减，则可得到格林第二恒等式：

$\int _{\mathbb {U} }\left(\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi \right)\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left(\psi {\partial \phi \over \partial n}-\phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,\mathrm {d} S$。

格林第三恒等式

假设函数$G$是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental solution）：

$\nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$；

其中，$\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')$是狄拉克δ函数。

例如，在R³，基本解的形式为

$G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={-1 \over 4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\|}$。

函数$G$称为格林函数。对于变数$\mathbf {x}$与$\mathbf {x} '$的交换，格林函数具有对称性，即$G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=G(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )$。

设定$\phi =G$，在区域$\mathbb {U}$内，$\psi$是二次连续可微。假若$\mathbf {x}$在积分区域$\mathbb {U}$内，则应用狄拉克δ函数的定义，

$\psi (\mathbf {x} )-\int _{\mathbb {U} }\left[G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\nabla '^{\,2}\psi (\mathbf {x} ')\right]\,\mathrm {d} V'=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left[\psi (\mathbf {x} '){\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ') \over \partial n'}-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\partial \psi (\mathbf {x} ') \over \partial n'}\right]\,\mathrm {d} S'$；

其中，$dV'$、$dS'$分别积分$\mathbf {x} '$于$\mathbb {U}$

这是格林第三恒等式。假若$\psi$是调和函数，即拉普拉斯方程式的解：

$\nabla '^{\,2}\psi (\mathbf {x} ')=0$，

则这恒等式简化为

$\psi (\mathbf {x} )=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left[\psi (\mathbf {x} '){\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ') \over \partial n'}-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\partial \psi (\mathbf {x} ') \over \partial n'}\right]\,\mathrm {d} S'$。

参阅

• 向量恒等式列表
• 数学恒等式列表 (List of mathematical identities)
• 向量微积分恒等式 (Vector calculus identities)