渐伸线

渐伸线（involute）(或称渐开线(evolvent))和渐屈线（evolute）是曲线的微分几何上互为表里的概念。若曲线A是曲线B的渐伸线，曲线B是曲线A的渐屈线。

在曲线上选一定点S。有一动点P由S出发沿曲线移动，选在P的切线上的Q，使得曲线长SP 和直线段长PQ 相同。渐伸线就是Q的轨迹。

若曲线B有参数方程 $r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ ，其中 $|r^{\prime }(s)|=1$ ，曲线A的方程为 $t\mapsto r(t)-tr^{\prime }(t)$ 。

曲线的渐屈线是该曲线每点的曲率中心的集。

若该曲线有参数方程 $r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ （ $|r^{\prime }(s)|=1$ ），则其渐屈线为

s\to r(s)+{r''(s) \over |r''(s)|^{2}}

。

每条曲线可有无穷多条渐伸线，但只有一条渐屈线。

渐屈线	渐伸线
悬链线	曳物线
圆内螺线／外摆线	相似的圆内螺线／外摆线
摆线	相同的摆线
半立方抛物线	抛物线

参数化曲线

渐开线方程曲线的参数化定义的函数( x(t) , y(t) ) 是:

$X[x,y]=x-{\frac {x'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

$Y[x,y]=y-{\frac {y'\int _{a}^{t}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}\,dt}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

范例

圆的渐伸线

圆的渐伸线会形成一个类似阿基米德螺线的图形。

在笛卡儿坐标系中，一个圆的渐开线的参数方程可以写成：

\,x=a\left(\cos \ t+t\sin \ t\right)

\,y=a\left(\sin \ t-t\cos \ t\right)

其中 $\,a$ 是圆的半径， $\,t$ 为参数

在极坐标系中， $\,r,\theta$ 一个圆的渐开线的参数方程可以写成：

\,r=a\sec \alpha

\,\theta =\tan \alpha -\alpha

其中 $\,a$ 是圆的半径 $\,\alpha$ 为参数

通常，一个圆的渐开线常被写成写成：

\,r=a{\sqrt {1+t^{2}}}

\,\theta =\arctan {\frac {\cos t+t\sin t}{\sin t-t\cos t}}

.

欧拉建议使用圆的渐开线作为齿轮的形状, 这个设计普遍存在于目前使用，称为渐开线齿轮。

悬链线的渐开线

一个悬链线的渐开线会通过此悬链线的顶点，形成曳物线。在笛卡儿坐标系中，一个悬链线的渐开线的参数方程可以写成：

$x=t-\mathrm {tanh} (t)\,$

$y=\mathrm {sech} (t)\,$

其中t 是参数，而sech是双曲正割函数(1/cosh(x))

衍生

用 $r(s)=(\sinh ^{-1}(s),\cosh(\sinh ^{-1}(s)))\,$

我们得到 $r^{\prime }(s)=(1,s)/{\sqrt {1+s^{2}}}\,$

且 $r(t)-tr^{\prime }(t)=(\sinh ^{-1}(t)-t/{\sqrt {1+t^{2}}},1/{\sqrt {1+t^{2}}})$ 。

替代成 $t={\sqrt {1-y^{2}}}/y$

可得到 $({\rm {sech}}^{-1}(y)-{\sqrt {1-y^{2}}},y)$ 。

摆线的渐开线

一个摆线的渐开线是另一个与它全等的摆线在笛卡儿坐标系中，一个摆线的渐开线的参数方程可以写成：

x=r(t-\sin(t))\,

y=r(1-\cos(t))\,

其中t是角度，r是半径

参见

外部链接

Xah: Special Plane Curves: Involute （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Evolute （页面存档备份，存于互联网档案馆）
Mathworld （页面存档备份，存于互联网档案馆）