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谱序列

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同调代数中,谱序列是一种借着逐步逼近以计算同调或上同调群的技术,由让·勒雷在1946年首创。其应用见诸代数拓扑群上同调同伦理论

动机

让·勒雷当初为了研究代数拓扑学,而引入的概念,从而面临计算层上同调的问题。为此,勒雷发明了现称勒雷谱序列的计算方法,它联系了一个层的上同调群与其正像的上同调群。

人们很快就发现:勒雷谱序列只是一个特例。谱序列还现身于纤维化等几何问题;更抽象地说,对合成函子取导函子也会得到谱序列,称为格罗滕迪克谱序列。虽然导范畴在理论层面提供了较简炼的框架,谱序列仍是最有效的计算工具。

由于谱序列包含大量的项,实际计算时往往会陷入带(至少)三重指标的的迷阵。在许多实际状况中,谱序列最后会“塌陷”,此时谱序列可以给出明确的资讯。若谱序列不塌陷,则须靠一些窍门取得有用的资讯。

形式定义

以下固定一个阿贝尔范畴 ,常见例子是一个环上的范畴。谱序列是一个非负整数 及下述资料:

  • 对所有整数 ,有范畴中的一个对象
  • 自同态 ,满足 ,称为边界映射微分
  • 的同构。

通常省去 的同构,而写成等式。

最基本的例子是链复形 ,它带有一个微分 。取 ,并令 ,于是必有 ;这个新链复形上的微分只有一个自然的选择,就是零映射。于是有 。综之,我们得到一个链复形范畴上的谱序列:

由于只有 时微分映射才可能非零,此序列在第一步后就不含任何新资讯。

较常见的是双分次模(或层)范畴上的谱序列,表作 ,此时的微分映射次数与 有关:对于上同调谱序列, 的次数是 。对于同调谱序列,通常将各项写成 ,微分映射 的次数是

谱序列之间的态射 定义为一族态射 ,使之与同构 交换。谱序列对此构成了一个阿贝尔范畴。

正合偶

交换代数中大部分的谱序列来自链复形,而已知构造谱序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代数拓扑学中很常见,此时对于许多谱序列,正合偶是唯一已知的构造法。事实上,正合偶可以用来构造所有已知的谱序列。

同样固定一个阿贝尔范畴(通常取一个环上的双分次模),一个正合偶是:

  • 一对对象
  • 三个态射:

使之满足下述正合条件:

  • Image f = Kernel g
  • Image g = Kernel h
  • Image h = Kernel f

将这组资料简记为 。正合偶通常以三角形表示。 对应到谱序列的 项,而 是一些辅助资料。

为了得到谱序列的后续项,以下将构造导出偶。令:

  • 导出。
  • 定义如下:若 为某个环上的范畴,对任一 ,存在 使得 ,定义 中的像。一般而言,可利用 Mitchell 嵌入定理构造态射

现在可以验证 构成正合偶。 对应到谱序列的 项。续行此法,可以得到一族正合偶 。相应的谱序列定义为

图解

谱序列的 E2

一个双分次谱序列含有大量要追踪的资讯,不过有个常见的图解法有助于阐明其结构。以下取上同调谱序列为例。在此有三个指标 。对每个 ,设想有一张方格纸,分别让 对应于横、纵轴。每一个格子点 对应到对象 。微分 的次数为 ,方向如图所示。

收敛与退化

在第一个简单的例子中,谱序列在 后的微分映射皆为零,故不再改变。这时可定义该谱序列的极限。对于一般的谱序列,也往往存在一个极限,极限与各项的关系可说是谱序列的众妙之门。

定义:若谱序列 对每个 都存在 ,使得当 时, 皆为零,则称 极限项(取充分大的 )。最常见的例子是集中在第一象限的谱序列,此时极限项恒存在。

其中的指标 指涉过滤结构。

若存在对象 、过滤结构 ,及一族同构 ,满足 (这种过滤称为“正则过滤”),则称 收敛,通常表为下述符号:

习惯上,人们也常将左式写成 ,因为谱序列中最重要的页往往是

最简单的收敛特例是退化

定义:固定 ,若对每个 ,微分映射 都是零,则称该谱序列在第 页退化。

退化性保证了 ,此时 即其极限。如果一个双分次谱序列 的非零项集中于某一条水平或垂直线上,则必在 时退化。

例子

过滤结构导出的谱序列

最常见的谱序列之一来自带有过滤结构的对象,通常是链复形或上链复形。这是一个对象 及微分映射 ,使之满足 ,以及

同调群上也有相应的过滤

对此,定义相应的分次对象

取微分映射为零,可视之为复形。

以下式定义谱序列:

此时有 ,且谱序列收敛:

通常也写成

为取值在某个阿贝尔范畴中的上链复形范畴。此时的对象 是个上链复形 是上链复形的微分映射。上述谱序列带有三个指标 ,并可进一步化成下述形式:

双复形的谱序列

以下考虑取值在某个阿贝尔范畴中的双复形,即一组对象 ,及两组微分映射 ,满足

对一个双复形,可定义其全复形 (也记为 ) 为

上有两组过滤,分别是:

它们给出两个谱序列 。首先计算 项:

(即:先取纵向上同调,再取横向上同调)

同理可计算

(即:先取横向上同调,再取纵向上同调)。

这两个谱序列通常是不同的,但随着 增大,它们都收敛到 ,由此可以得到一些有趣的比较定理。

例子

Tor函子的交换性

利用谱序列,可以迅速导出Tor函子的交换性,即一自然同构:

取定平坦分解 。视之为集中于正项的复形,其微分映射分别记为 。考虑双复形 ,其微分映射定义为 (以使微分映射满足反交换性)。取其谱序列,遂得到:

由于复形 是平坦分解,其同调群只集中在零次项,此时其表示式为:

只在 上有非零项,而 只在 上有非零项,这保证了谱序列在第二页退化,由此导出同构:

时,上述等式的右项同构(虽然其分次结构不同),由此得到 Tor 的交换性。

示性数

运用谱序列时,通常会假设某些项为零,或假设谱序列在第一或第二页退化。但有时尽管对各项及微分映射一无所知,仍可从谱序列中萃取资讯,最简单的例子是示性数:固定一个阿贝尔范畴 及一个交换群 ,所谓示性数是一个函数 ,满足:

例如:取 为某个域 上的有限维向量空间范畴,则 是一个示性数。

对任一 上的有限复形 ,定义

容易证明 。考虑任一在 上的收敛谱序列 ,由于谱序列的每一页都是前一页的同调,遂得到

然而

于是得到


参考资料

历史文献

  • Leray, Jean. L'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1366––1368. 
  • Leray, Jean. Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1419––1422. 
  • Koszul, Jean-Louis. Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947, 225: 217––219. 
  • Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. I, II. Ann. of Math. (2nd series). 1952, 56: 363––396. 
  • Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. III, IV, V. Ann. of Math. (2nd series). 1953, 57: 248––286. 

当代文献