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辫群

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置换群 S4的24个元素

辫群(英语:Braid group)为数学领域中纽结理论的一个概念。一个 股的辫群(记为)是元素为 n-braid 的,其运算为前一个 n-braid 按后一个 n-braid 的方式操作(见 § 举例说明)。

辫群是由埃米尔·阿廷(1925[1])提出的,因此又被称为阿廷辫群(英语:Artin Braid group)。[2]

引言

想像有4条横著摆放的绳子,它们的两端分别被固定在左右两侧的墙上,如下图所示,黑点代表被固定的位置。

一种 4 股的辫子
一种 4 股的辫子

我们称这样绳子的摆放方式,或是编织的方式为一个辫子(英语:braid)。而正式的写法中会连绳子的数目也一起表达,将4股的辫子以英文简写成 4-braid

如果将刚才的辫子中下面两条的右端交换位置,会变成下图的样子。

另外一种 4 股的辫子
另外一种 4 股的辫子

那么这两种会是不同的4股辫子( 英语:4-braid)。 如果将这两种辫子理解为中的元素,那么刚才把右端交换位置的操作就是当中的运算。在辫群的讨论中,常用这些操作来表示不同的辫子,这种表示方法称作 braid word[2]

举例说明

在这个小节中,以为例。

下面的两条辫子是不同的:

编织sigma1-1    不同于    编织sigma1

但是下面的两条辫子是相同的:

编织sigma1-1   同于  另一个代表西格玛1-1

所有的股都必须从左向右移动,所以下面的图片并不是一条辫子:

不是一个编织    不是辫子

我们可以编两条辫子:

    加         等于    

另一个例子:

    加        等于    

复合 / 编织物σ和τ的组成写为στ。

是四股上所有编织物的集合。上面的复合是操作,单位元是四股水平平行股的辫子,辫子B的逆元素是取消B的操作。

应用

辫群的应用包括 陈-西蒙斯理论、亚历山大定理(Alexander's Theorem)、杨-巴克斯特方程代数几何任意子、等。[3]

参见

参考文献

  1. ^ 陈国璋(Kuo-Chang Chen). 利用辮群設計支援可比較搜尋之加密法: 46. 2010 [2023-03-25]. 
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. Braid Group. MathWorld--A Wolfram Web. [2023-03-25]. (原始内容存档于2023-03-25). 
  3. ^ Cohen, Daniel; Suciu, Alexander. The Braid Monodromy of Plane Algebraic Curves and Hyperplane Arrangements. Commentarii Mathematici Helvetici. 1997, 72 (2): 285–315. arXiv:alg-geom/9608001可免费查阅. doi:10.1007/s000140050017. 
  4. ^ Boyland, Philip L.; Aref, Hassan; Stremler, Mark A., Topological fluid mechanics of stirring (PDF), Journal of Fluid Mechanics, 2000, 403 (1): 277–304, Bibcode:2000JFM...403..277B, MR 1742169, doi:10.1017/S0022112099007107, (原始内容 (PDF)存档于2011-07-26) 
  5. ^ Gouillart, Emmanuelle; Thiffeault, Jean-Luc; Finn, Matthew D., Topological mixing with ghost rods, Physical Review E, 2006, 73 (3): 036311, Bibcode:2006PhRvE..73c6311G, MR 2231368, arXiv:nlin/0510075可免费查阅, doi:10.1103/PhysRevE.73.036311 
  6. ^ Stremler, Mark A.; Ross, Shane D.; Grover, Piyush; Kumar, Pankaj, Topological chaos and periodic braiding of almost-cyclic sets (PDF), Physical Review Letters, 2011, 106 (11): 114101, Bibcode:2011PhRvL.106k4101S, doi:10.1103/PhysRevLett.106.114101