钱珀瑙恩数

钱珀瑙恩数（Champernowne constant）C₁₀是一个实数的超越数，其十进制表示法有重要的特性，得名自数学家D. G.钱珀瑙恩，在1933年以本科生(剑桥大学)的身份发表有关钱珀瑙恩数的论文。

在十进制下，可以用连续整数来定义钱珀瑙恩数：

$C_{10}=0.12345678910111213141516...$ （OEIS数列A033307）.

也可以定义其他进制系统下的钱珀瑙恩数：

$C_{2}=(0.1101110010111011110001001...)_{2}$

$C_{3}=(0.12101112202122100101102110...)_{3}$

$C_{36}=(0.123456789ABCDEFGHIJ...)_{36}$

钱珀瑙恩字（Champernowne word）或是巴比尔字（Barbier word）是指由C_k各位数形成的数列。

十进制下的钱珀瑙恩数C₁₀为正规数，是每个数字出现机会均等的实数。

性质

实数x若在某一进制b下，其数字都是均匀分布，此实数在底数b下为正规数]。均匀分布的意思是所有数字出现比率相近，所有二位数字组合出现比率相近，所有三位数字组合出现比率相近等。若实数在所有进制都是正规数，则称为绝对正规数。

若将一数字的各位数组成一字串，为[a₀, a₁, ...]，而此数字在10进制下正规数，因此可以预期，此字串中，字串[0], [1], [2], …, [9]出现的几率都是1/10，而字串[0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9]出现的几率都是1/100。

钱珀瑙恩证明了$C_{10}$在十进制下为正规数，Nakai和Shiokawa证明了更通用的定理：也就是$C_{b}$在b进制下都会正规数。有关在$b\neq k$的条件下，$C_{k}$在b进制是否是正规数，这问题是还没有答案的开放问题。例如，目前还不知道$C_{10}$在9进制下是否是正规数。例如$C_{10}$的前54位数是0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313，在9进制下表示为${0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_{9}$。

Kurt Mahler证明钱珀瑙恩数是超越数。$C_{10}$的无理性度量（表示用有理数近似此数字的困难程度）为$\mu (C_{10})=10$，而针对$b\geq 2$的进制$b$，$\mu (C_{b})=b$。

相关条目

• 科普兰—艾狄胥常数：另一个用质数定义的正规数。
• 刘维尔数：另一个用十进制定义的超越数。

文献

• Cassaigne, J.; Nicolas, F. Factor complexity. Berthé, Valérie; Rigo, Michel (编). Combinatorics, automata, and number theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 135. Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 163–247. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl 1216.68204. 
• Champernowne, D. G., The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, 1933, 8 (4): 254–260, doi:10.1112/jlms/s1-8.4.254 .
• Nakai, Y.; Shiokawa, I., Discrepancy estimates for a class of normal numbers, Acta Arithmetica, 1992, 62 (3): 271–284, doi:10.4064/aa-62-3-271-284  

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Champernowne constant. MathWorld. 
• The fantastic pencil and the Champernowne constant （页面存档备份，存于互联网档案馆）