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阻尼比

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欠阻尼的弹簧质量系统,ζ<1

阻尼比(英语:Damping ratio)是工程上的无因次量,描述系统在受到扰动后振荡及衰减的情形。许多系统在受扰动,离开其静平衡位置时都会振荡,例如吊在弹簧的重物,若用力往上拉再放开,就会上上下下的摆动。在摆动过程中,系统试图回到平衡位置,不过会出现过冲。有时系统会有损耗(例如摩擦力)会形成系统的阻尼,会使系统的振荡渐渐变小,最后衰减。阻尼比是描述系统的振荡多快可以衰减。

系统的振荡行为出现在许多不同的领域中,例如控制工程机械工程结构工程电机工程等。振荡的物理量可能有很大的不同,振荡的可能是在大风中的建筑物,也可能是马达的速度,但利用正规化、无因次化的分析可以描述这些现象中共通的特性。

振荡情形

  • 当弹簧质量系统完全没有损耗,质量会一直摆动,不会结束,每一次的摆动振幅都和之前一样,这种理想情形称为无阻尼。
  • 若系统的损耗很大,例如弹簧质量系统放置在黏滞的液体中,系统会慢慢的回到初始位置,甚至不会过冲,这称为过阻尼。
  • 一般而言,在摆动时会出现过冲,再往另一边摆动,再回来,在摆动过程中,系统消耗了一些能量,而摆动振幅也会越来越小,最后回到初始位置,这称为欠阻尼。
  • 在过阻尼及欠阻尼二个条件之间,有一个特定的情形是系统不会过冲,会在最快时间回到初始位置,这称为临界阻尼。临界阻尼和过阻尼都不会过冲,而临界阻尼是最快回到初始位置的那一个阻尼条件。

定义

二阶系统下不同阻尼比的影响

阻尼比常用ζ表示[1],是二阶微分方程步阶响应频率响应的参数之一。在控制理论谐振子中相当重要。

阻尼比表示系统的阻尼相对于临界阻尼的比值。若有阻尼的谐振子质量为m、阻尼系数为c、弹簧常数为k, 阻尼比可定义为系统的阻尼系数相对于临界阻尼的比例:

若系统的运动方程为

其临界阻尼系数为

阻尼比是二个相同单位系数的比值,因此为无因次量。

衍生

利用简谐运动自然频率及以上的阻尼比定义,可以将二阶微分方程式改写如下:

上述方程式可以用以下的方式求解

其中Cs都是复数的常数。此解法假设解是振荡且/或指数递减,将此放入微分方程中,可以得到振荡频率的条件:

  • 无阻尼:对应没有阻尼的简谐运动,其解为
  • 欠阻尼:若s为复数,解为指数递减且振荡的函数,振荡部分可用表示。此时,称为欠阻尼。
  • 过阻尼:若s为实数,则解为没有振荡的指数递减,此时,称为过阻尼。
  • 临界阻尼:当,介于过阻尼及欠阻尼之间,称为临界阻尼,这是许多工程应用想要的结果,也会希望阻尼振荡器可以设计在这一点。

品质因子及衰减速率

品质因子Q、阻尼比ζ及指数衰减率α有以下的关系[2]

若二阶系系统的(欠阻尼系统),系统有二个共轭零点,其实部为,因此其指数衰减率参数表示振荡后指数衰减的速度。低阻尼比表示其衰减速度慢,因此许多欠阻尼的系统可以振荡较长的时间[3]。像高品质的音叉其阻尼比很小,因此敲击后振荡可以持续很长的时间,衰减的速度很慢。

对数衰减

阻尼比也和欠阻尼系统中的对数衰减英语logarithmic decrement有关

上述关系只在欠阻尼的系统下有效,因为对数衰减定义为二个相邻振幅比例的自然对数,而只有欠阻尼系统有振荡,才有对应的振幅。

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参考资料

  1. ^ Alciatore, David G. Introduction to Mechatronics and Measurement Systems 3rd. McGraw Hill. 2007. ISBN 978-0-07-296305-2. 
  2. ^ William McC. Siebert. Circuits, Signals, and Systems. MIT Press. 
  3. ^ Ming Rao and Haiming Qiu. Process control engineering: a textbook for chemical, mechanical and electrical engineers. CRC Press. 1993: 96. ISBN 978-2-88124-628-9.