法拉第圆盘是同极发电机的原型。将铜圆盘旋转于固定不动的马蹄形磁铁，由于洛伦兹力的作用于铜圆盘的电子，会生成动生电动势。 在电路学 里，电动势 （英语：electromotive force ，缩写为EMF ，或以
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
电能 的特性。这些电路元件称为“电动势源”。电化电池 、太阳能电池 、燃料电池 、热电装置 、发电机 等等，都是电动势源。电动势源所供应的能量每单位电荷是其电动势[ 1]
Q
{\displaystyle Q\,}
W
{\displaystyle W\,}
E
=
W
Q
{\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {W}{Q}}}
[ 2] 电势差 。
在电磁学 里，电动势又分为两种：感生电动势 （induced EMF）与动生电动势 （motional EMF）。根据法拉第感应定律 ，处于含时磁场的闭电路，由于磁场随着时间而改变，会有感生电动势出现于闭电路。感生电动势等于电场沿着闭电路的路径积分。处于闭电路的带电粒子会感受到电场，因而产生电流。
移动于磁场的细直导线，其内部会出现动生电动势。处于这导线的电荷，根据洛伦兹力定律 ，会感受到洛伦兹力 ，从而造成正负电荷分离至直棍的两端。这动作会形成一个电场与伴随的电场力，抗拒洛伦兹力，直到两种作用力达成平衡。
格奥尔格·欧姆 （1789年—1854年）从1825年到1826年之间，格奥尔格·欧姆 做了很多有关于电路 的实验。1827年，在他发表的书《直流电路的数学研究》（Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet 欧姆定律 ”。欧姆注意到电路所需要的电源是由电池供给的，电池与电路内的各种物理现象应该有密切关系。他推论电池具有某种“驱动力”，能够驱使电流流动于电路。他将几个伏打电池 串联在一起，发觉电流与伏打电池的数量成正比。因此，他提出驱动力与电流成正比。这驱动力就是现在的电动势，在一个简单的电阻电路里，电动势等于电流 乘以电阻 。
后来，于1831年，麦可·法拉第 做了一系列有关电磁感应的实验，从这些实验，他发现以下几点：
当改变载流导线的电流时，附近的闭电路 会被感应出电流。
当移动磁铁 时，附近的闭电路会被感应出电流。
当移动闭电路于载流导线或磁铁附近时，这闭电路会被感应出电流。 于1832年，法拉第又发现，产生于不同导线的感应电流与导线的电导率 成正比。由于电导率与电阻成反比，这显示出感应作用涉及了电动势，感应电流是由电动势驱使导线的电荷移动而形成的；而且，不论导线是开电路，或是闭电路，都会感应出电动势[ 3]
当处于平衡状态时，在一个呈开电路状态的电动势源元件（例如电池 ）内部，电动势促使正电荷和负电荷被分离至元件两端。电荷分离形成的保守性 静电场
E
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{cs}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{cs}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
E
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{cs}}
[ 4]
E
=
−
∫
a
b
E
c
s
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-\int _{a}^{b}\mathbf {E} _{cs}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
其中，
d
ℓ
{\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
从电动势源，这正电荷会感受到的电场
E
e
m
f
{\displaystyle \mathbf {E} _{emf}}
E
=
∫
a
b
E
e
m
f
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{a}^{b}\mathbf {E} _{emf}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
（1） 对于闭回路案例，假设闭回路
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
=
−
∫
S
∂
B
∂
t
⋅
d
a
=
−
d
ϕ
B
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-\int _{\mathbb {S} }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\mathrm {d} \phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
其中，
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
d
a
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }
ϕ
B
{\displaystyle \phi _{B}}
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
磁通量 。
电场沿着闭回路的环流量 不会等于零，而会等于感生电动势[ 5]
E
=
∮
C
E
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
其中，
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{cs}}
E
n
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{ncs}}
对于这案例，静电场并不是总电场的维一的贡献者。静电场部分是保守的。静电场部分沿着闭回路的电场 环流量 等于零，只有非保守性电场
E
n
c
s
{\displaystyle \mathbf {E} _{ncs}}
E
=
∮
C
E
n
c
s
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} _{ncs}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
这定义可以延伸至任意电动势源和移动的闭回路
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
[ 6] 动生电动势
∮
C
v
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle \oint _{\mathbb {C} }\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
E
=
∮
C
E
e
m
f
⋅
d
ℓ
=
∮
C
(
E
n
c
s
+
v
×
B
)
⋅
d
ℓ
+
1
q
∮
C
f
c
⋅
d
ℓ
+
1
q
∮
C
f
t
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {E} _{emf}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\oint _{\mathbb {C} }\left(\mathbf {E} _{ncs}+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}+{\frac {1}{q}}\oint _{\mathbb {C} }\ \mathbf {f} _{c}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}+{\frac {1}{q}}\oint _{\mathbb {C} }\ \mathbf {f} _{t}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
其中，
f
c
{\displaystyle \mathbf {f} _{c}}
f
t
{\displaystyle \mathbf {f} _{t}}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
将洛伦兹力方程 代入，
E
=
1
q
∮
C
f
l
o
r
e
n
t
z
⋅
d
ℓ
+
1
q
∮
C
f
c
⋅
d
ℓ
+
1
q
∮
C
f
t
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {1}{q}}\oint _{\mathbb {C} }\mathbf {f} _{lorentz}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}+{\frac {1}{q}}\oint _{\mathbb {C} }\ \mathbf {f} _{c}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}+{\frac {1}{q}}\oint _{\mathbb {C} }\ \mathbf {f} _{t}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
其中，
f
l
o
r
e
n
t
z
=
q
(
E
n
c
s
+
v
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {f} _{lorentz}=q(\mathbf {E} _{ncs}+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
洛伦兹力 。
由于很难准确的计算出有效化学作用力和有效热作用力，这方程只是一个概念方程。
电动势通常会以希腊字母
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
给予一个内部电阻 为零的元件，假设电荷
Q
{\displaystyle Q}
W
{\displaystyle W}
W
/
Q
{\displaystyle W/Q}
国际单位制 ，就像其它能量每单位电荷的度量，电动势的单位是伏特 （volt ），等价于焦耳 ／库仑 （joules per coulomb ）。
采用厘米-克-秒制 ，电动势的单位是静伏特 （statvolt ），等价于尔格 ／静库仑 （erg per statcoulomb ）[ 7]
理想电动势源不具有任何内阻 ，放电与充电不会浪费任何电能。理想电动势源给出的电动势与其路端电压相等。
在实际应用中，电动势源不可避免地有一定的内阻 。实际电动势源的电阻可以视为一个理想电动势源串联一个电阻为内阻的电阻器。内阻的大小取决于电动势源的大小、化学性质、使用时间、温度和负载电流。
在通电的闭电路中，内阻相当于一个负载 ，并且消耗电能。
放电电路：在放电电路中，二者关系为
E
=
V
+
I
r
{\displaystyle {\mathcal {E}}=V+Ir}
V
{\displaystyle V}
I
{\displaystyle I}
r
{\displaystyle r}
充电电路：在充电电路中，二者关系为
E
=
V
−
I
r
{\displaystyle {\mathcal {E}}=V-Ir}
V
{\displaystyle V}
在一个呈开电路状态的电动势源内部，由于电流为零，电动势与路端电压相等。
能够供应电动势的元件有很多种，例如，电化电池 、太阳能电池 、燃料电池 、热电装置 、发电机 等等[ 8]
电池靠着位于电极 的化学反应来产生电动势。这些化学反应分离正负电荷至电池的两端点，从而造成电势差。伏打电池 是大多数电池的原型。伏打电池可以试想为，在每一个电极，都装有一个原子 尺寸的电荷泵 ；也就是说[ 9]
试想电动势源为一种电荷泵；它能将正电荷，从低电势端，经过其本身，移动到高电势端.....使用化学，机械或其它机制，电动势源将这正电荷
d
q
{\displaystyle \mathrm {d} q}
移至高电势端，所做出的功是
d
W
{\displaystyle \mathrm {d} W}
。电动势源的电动势
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
定义为其所做的功每单位电荷
E
=
d
W
/
d
q
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\mathrm {d} W/\mathrm {d} q}
在发电机 里，电动势的运作所遵守的主要原理是法拉第感应定律 。含时磁场通过电磁感应 产生电动势，而这电动势造成了发电机两端的电荷分离和电势差。电荷从一个端点移动到另外一个端点，直到两端的分离电荷所产生的电场能够阻止更多的电荷分离。电动势与电荷分离产生的电势差相互抗衡。假设在发电机两端连结一个负载 ，则电动势会驱使电流流过负载。
太阳能电池 或光电二极管 是另外一种电动势源；太阳能电池使用光能为外来能源，可以将光能变为电能，是大面积的光电二极管。
燃料电池 是一种使用燃料进行化学反应产生电力的装置。最常见的是一种以氢氧 为燃料的质子交换膜燃料电池 ，由于燃料价格平宜，加上对人体无化学危险、对环境无害，发电后产生纯水和热，在商业与工业方面有相当广泛的用途。
通常的反应途径会要求初始反应物越过一个能量障壁，进入中间态，最后出现于一个较低能量的状态。假若涉及到电荷分离，这能量差可能会造成电动势。更详细论述，请参阅条目过渡状态 [ 10] 使用KNO3 玻璃管型盐桥 的电化电池。 在十九世纪的一大段时间，许多科学家都致力于寻找电池 （伽凡尼电池 ）产生电动势的机制。最终，瓦尔特·能斯特 发现电动势的作用点是处于电极 与电解质 之间的接触面[ 11]
分子 是一群原子靠着化学键 连接在一起而形成。这些化学键是电子与质子 之间相互吸引的电场力 。孤立的分子是稳定实体；但当将不同的分子集聚在一起时，有些种类的分子能够偷取其它分子的电子，造成电荷分离。这种电荷重新分布会改变整个系统的能量，以及分子内部原子的重新组态[ 12]
氧化反应 是化合价 升高，失去电子的反应；还原反应 是化合价降低，获得电子的反应。发生这种电子交换事件的反应称为氧化还原反应 。在电池里，阳极 是发生氧化反应的电极 （或者失去电子的电极）；而阴极 则是发生还原反应的电极（或者获得电子的电极）。这同样的物理行为可以从原子本身观察出来。原子偷取电子的能力称为电负性 [ 13]
举例而言，在丹尼耳电池 里，锌 阳极的锌原子会溶解于硫酸锌 溶液，溶解的锌原子会遗留其电子于阳极，根据氧化反应（s = 固体阳极，aq = 水溶液）：
Z
n
(
s
)
→
Z
n
2
+
(
a
q
)
+
2
e
−
{\displaystyle \mathrm {Zn} (s)\rightarrow \mathrm {Zn} ^{2+}(aq)+2\mathrm {e} ^{-}}
硫酸锌是一种电解质 ，在溶液内有可以导电的离子 ，锌离子
Z
n
2
+
{\displaystyle \mathrm {Zn} _{}^{2+}}
S
O
4
2
−
{\displaystyle \mathrm {SO} _{4}^{2-}}
在丹尼尔电池的铜 阴极区域，根据还原反应，硫酸铜电解质的铜离子会从阴极获得电子：
C
u
2
+
(
a
q
)
+
2
e
−
→
C
u
(
s
)
{\displaystyle \mathrm {Cu} ^{2+}(aq)+2e^{-}\rightarrow \mathrm {Cu} (s)}
被中性化的铜原子会电镀 在铜阴极表面[ 14]
电子会通过外电路（示意图内的检流计 ），而硫酸根离子会通过盐桥 ，这样，可以保持电荷平衡。当反应进行时，锌阳极会缓慢的溶解，而铜阴极表面会被电镀。假若外电路被断开，由于电荷分离产生的电场会抗拒两个电极之间的电动势，反应会停止。
在热力学 里，电动势
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
Z
{\displaystyle Z}
功 项目。对于可逆过程 ，当电动势促使电荷在电池 内移动时，内能 的变化包括这项目：
d
U
=
T
d
S
−
P
d
V
+
E
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-P\mathrm {d} V+{\mathcal {E}}\mathrm {d} Z}
其中，
U
{\displaystyle U}
内能 ，
S
{\displaystyle S}
熵 ，
T
{\displaystyle T}
绝对温度 ，
V
{\displaystyle V}
P
{\displaystyle P}
压强 。
假设电池为丹尼耳电池 ，由于在这种电池内进行的反应不会产生气体，系统体积不变，方程简化为
d
U
=
T
d
S
+
E
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S+{\mathcal {E}}\mathrm {d} Z}
让熵
S
{\displaystyle S}
T
{\displaystyle T}
Z
{\displaystyle Z}
d
S
=
(
∂
S
∂
T
)
Z
d
T
+
(
∂
S
∂
Z
)
T
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} S=\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{Z}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}\mathrm {d} Z}
假设等温过程 ，那么，方程右手边的第一个项目等于零：
d
S
=
(
∂
S
∂
Z
)
T
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} S=\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}\mathrm {d} Z}
将这方程带入内能的方程：
d
U
=
{
E
+
T
(
∂
S
∂
Z
)
T
}
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=\left\{{\mathcal {E}}+T\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}\right\}\mathrm {d} Z}
这方程右手边的第二个项目是“充电热”（heat of charging ），定义为在一个等温可逆的充电过程，系统的热能吸收率
C
T
(
Z
)
{\displaystyle C_{T}^{(Z)}}
C
T
(
Z
)
=
d
e
f
d
Q
T
d
Z
=
T
(
∂
S
∂
Z
)
T
{\displaystyle C_{T}^{(Z)}\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} Q_{T}}{\mathrm {d} Z}}=T\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}}
吸收率
C
T
(
Z
)
{\displaystyle C_{T}^{(Z)}}
亥姆霍兹自由能
F
{\displaystyle F}
d
F
=
d
U
−
d
(
T
S
)
=
−
S
d
T
+
E
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} F=\mathrm {d} U-\mathrm {d} (TS)=-S\mathrm {d} T+{\mathcal {E}}\mathrm {d} Z}
所以，
(
E
,
Z
)
{\displaystyle ({\mathcal {E}},\ Z)}
共轭变量 （conjugate variables ）。其麦克斯韦关系式 为：
(
∂
E
∂
T
)
Z
=
−
(
∂
S
∂
Z
)
T
{\displaystyle \left({\frac {\partial {\mathcal {E}}}{\partial T}}\right)_{Z}=-\left({\frac {\partial S}{\partial Z}}\right)_{T}}
带入内能的方程：
d
U
=
{
E
−
T
(
∂
E
∂
T
)
Z
}
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=\left\{{\mathcal {E}}-T\left({\frac {\partial {\mathcal {E}}}{\partial T}}\right)_{Z}\right\}\mathrm {d} Z}
通常，电动势跟温度
T
{\displaystyle T}
Z
{\displaystyle Z}
d
U
=
(
E
−
T
d
E
d
T
)
d
Z
{\displaystyle \mathrm {d} U=\left({\mathcal {E}}-T{\frac {\mathrm {d} {\mathcal {E}}}{\mathrm {d} T}}\right)\mathrm {d} Z}
对于丹尼耳电池，体积不变，假设等压过程 ，则焓 的改变
Δ
H
{\displaystyle \Delta H}
Δ
H
=
Δ
(
U
+
P
V
)
=
Δ
U
{\displaystyle \Delta H=\Delta (U+PV)=\Delta U}
使得一摩尔 的金属 原子 进入溶液所需要的电荷量为
Δ
Z
=
z
N
A
e
{\displaystyle \Delta Z=zN_{A}e}
其中，
z
{\displaystyle z}
离子 的电价，
N
A
{\displaystyle N_{A}}
阿伏伽德罗常量 ，
e
{\displaystyle e}
基本电荷 量。
假设恒压、恒体积，则电池的热力学性质与电动势的紧密关系，以方程表达为
Δ
H
=
z
N
A
e
(
E
−
T
d
E
d
T
)
{\displaystyle \Delta H=zN_{A}e\left({\mathcal {E}}-T{\frac {d{\mathcal {E}}}{\mathrm {d} T}}\right)}
这样，只要得到电动势与温度之间关系的资料，从测量电动势和温度的数据，很容易就能够准确地计算出某化学反应的反应热[ 15]
一条长度为
L
{\displaystyle L}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
许多发电机 的基本运作原理涉及动生电动势概念。移动于磁场的导线，其内部会出现电动势，称为“动生电动势”。如图右所示[ 16]
L
{\displaystyle L}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
q
{\displaystyle q}
洛伦兹力定律 ，会感受到洛伦兹力
F
l
o
r
e
n
t
z
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}}
F
l
o
r
e
n
t
z
=
q
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {F} _{lorentz}=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
在这里，洛伦兹力也是磁场力 。因为感受到这磁场力，正电荷会往导线的上端移动，负电荷会往导线的下端移动。在稳定平衡状态，这动作会形成一个电场
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
−
v
×
B
{\displaystyle \mathbf {E} =-\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
如同先前方程（1）的定义，电动势定义为，迁移正电荷于导线路径
L
{\displaystyle \mathbb {L} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
E
=
−
∫
L
E
⋅
d
ℓ
=
∫
L
F
l
o
r
e
n
t
z
q
⋅
d
ℓ
=
v
B
L
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-\int _{\mathbb {L} }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{L}{\frac {\mathbf {F_{lorentz}} }{q}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=vBL}
对于这案例，假若达到稳定平衡状态，则电流等于零。假设载流导线与其他元件连结成闭电路，则会因为动生电动势而产生电流。例如，将一个电阻
R
{\displaystyle R}
I
{\displaystyle I}
I
=
E
/
R
==
v
B
L
/
R
{\displaystyle I={\mathcal {E}}/R==vBL/R}
在时间
t
{\displaystyle t}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
一个以常速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
B
(
r
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
法拉第感应定律指出，穿过任意曲面的磁通量 变化率，与围住这任意曲面的闭回路所出现的电动势，两者之间的关系为：
E
=
−
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
其中，
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
t
{\displaystyle t}
在时间
t
{\displaystyle t}
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
Φ
B
(
t
)
{\displaystyle \Phi _{B}(t)}
Φ
B
(
t
)
=
d
e
f
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle \Phi _{B}(t)\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
d
a
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }
法拉第感应定律的方程，以积分形式表示为
E
=
−
d
d
t
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
法拉第感应定律表明了磁通量与电动势之间的关系。本段落会应用一些矢量微积分的方法与工具，从这定律的积分形式推导出微分形式。
假设围住任意曲面
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
全微分 是[ 17]
d
Φ
B
(
t
)
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
+
d
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
+
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
−
∫
Σ
(
t
)
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
=
∫
Σ
(
t
+
d
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
d
t
⋅
d
a
+
∫
Σ
t
o
t
a
l
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
−
∫
Σ
r
i
b
b
o
n
B
(
r
,
t
)
⋅
d
a
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \Phi _{B}(t)&=\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t+\mathrm {d} t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} +\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\mathrm {d} t\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} \\&=\int _{\Sigma (t+\mathrm {d} t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\mathrm {d} t\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} +\int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} \\\end{aligned}}}
； 其中，
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
Σ
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
Σ
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \Sigma (t+\mathrm {d} t)}
−
Σ
(
t
)
{\displaystyle -\Sigma (t)}
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
∂
Σ
(
t
+
d
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t+\mathrm {d} t)}
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
根据散度定理 和高斯磁定律 ，
∫
Σ
t
o
t
a
l
B
⋅
d
a
=
∫
V
t
o
t
a
l
∇
⋅
B
d
r
3
=
0
{\displaystyle \int _{\Sigma _{total}}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{\mathbb {V} _{total}}\nabla \cdot \mathbf {B} \ \mathrm {d} r^{3}=0}
其中，
V
t
o
t
a
l
{\displaystyle \mathbb {V} _{total}}
Σ
t
o
t
a
l
{\displaystyle \Sigma _{total}}
d
r
3
{\displaystyle \mathrm {d} r^{3}}
以线积分表示来表示穿过边缘曲面
Σ
r
i
b
b
o
n
{\displaystyle \Sigma _{ribbon}}
∫
Σ
r
i
b
b
o
n
B
⋅
d
a
=
∫
∂
Σ
(
t
)
B
⋅
[
d
ℓ
×
(
v
d
t
)
]
=
∫
∂
Σ
(
t
)
[
(
v
d
t
)
×
B
]
⋅
d
ℓ
{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} \mathrm {d} t)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} \mathrm {d} t)\times \mathbf {B} ]\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
所以，磁通量对于时间的全导数，或磁通量的变化率为
d
Φ
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ
(
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ
(
t
)
v
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}(t)}{\mathrm {d} t}}=\int _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {v} \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
假设，在以常速度
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
∂
Σ
{\displaystyle \partial \Sigma }
q
{\displaystyle q}
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
∂
Σ
(
t
)
{\displaystyle \partial \Sigma (t)}
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
w
=
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }
注意到
u
×
d
ℓ
=
0
{\displaystyle \mathbf {u} \times \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=0}
d
Φ
B
(
t
)
d
t
=
∫
Σ
(
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
−
∫
∂
Σ
(
t
)
w
×
B
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}(t)}{\mathrm {d} t}}=\int _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} -\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {w} \times \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
这电荷
q
{\displaystyle q}
洛伦兹力
F
L
o
r
e
n
t
z
=
q
(
E
+
w
×
B
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{Lorentz}=q(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )}
电动势
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
=
d
e
f
∫
∂
Σ
(
t
)
F
L
o
r
e
n
t
z
q
⋅
d
ℓ
=
∫
∂
Σ
(
t
)
(
E
+
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}\ {\stackrel {def}{=}}\ \int _{\partial \Sigma (t)}{\frac {\mathbf {F} _{Lorentz}}{q}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\int _{\partial \Sigma (t)}(\mathbf {E} +\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
应用斯托克斯定理 ，
E
=
∫
Σ
(
t
)
(
∇
×
E
)
⋅
d
a
+
∫
∂
Σ
(
t
)
(
w
×
B
)
⋅
d
ℓ
{\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{\Sigma (t)}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} +\int _{\partial \Sigma (t)}(\mathbf {w} \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}
从法拉第感应定律方程的积分形式，除去相同的线积分项目，即动生电动势项目，令剩下的感生电动势项目相等，可以得到
∫
Σ
(
t
)
(
∇
×
E
)
⋅
d
a
=
−
∫
Σ
(
t
)
∂
B
(
r
,
t
)
∂
t
⋅
d
a
{\displaystyle \int _{\Sigma (t)}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-\int _{\Sigma (t)}{\frac {\partial \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
由于
Σ
(
t
)
{\displaystyle \Sigma (t)}
∇
×
E
=
−
∂
B
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
这就是法拉第感应定律方程的微分形式，即麦克斯韦-法拉第方程 。反之，也可以从微分形式推导出积分形式。
不论磁场是不含时的或含时的，不论闭回路是刚硬固定的、是在运动中、是在形变 过程中，法拉第感应定律都成立。但是，对于某些案例，法拉第感应定律并不适用或使用起来很困难。这时候，必须使用洛伦兹力定律。详尽细节，请参阅法拉第感应定律不适用案例 。
假设闭回路移动于不含时磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
定向 改变，由于微小元素
B
⋅
d
a
{\displaystyle \mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
对比前面所述状况，假设固定的闭回路处于含时磁场
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
q
E
{\displaystyle q\mathbf {E} }
Φ
B
{\displaystyle \Phi _{B}}
d
Φ
B
d
t
{\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}
^
Alvin M. Halpern, Erich Erlbach. Schaum's outline of theory and problems of beginning physics II . McGraw-Hill Professional. 1998: 138. ISBN 0070257078
^ 本文中的手写体 Ɛ E 电场强度 。电动势与电场强度的符号都是大写英文字母E 。
^ Whittaker, E. T., A history of the theories of aether and electricity. Vol 1 , Nelson, London: pp. 95–96, 191–192, 1951 ^
David J Griffiths, Introduction to Electrodynamics 3rd, Pearson/Adisson Wesley: 292–300, 1999, ISBN 013805326X
^ Richard P. Olenick, Tom M. Apostol and David L. Goodstein, Beyond the mechanical universe: from electricity to modern physics, Cambridge University Press: 245, 1986, ISBN 9780521304306 ^ David M. Cook, The Theory of the Electromagnetic Field, Courier Dover: 158, 2003, ISBN 9780486425672 ^
Van Valkenburgh, Basic Electricity, Cengage Learning: 1–46, 1995, ISBN 9780790610412
^ Lawrence M Lerner, Physics for scientists and engineers , Jones & Bartlett Publishers: 724–727, 1997 [2010-02-11 ] , ISBN 0763704601原始内容 存档于2020-08-07） ^ Kongbam Chandramani Singh, §3.16 EMF of a source, Basic Physics, Prentice Hall India Pvt Ltd: 152, 2009, ISBN 8120337085 ^
Nikolaus Risch. Molecules - bonds and reactions. L Bergmann; et al (编). Constituents of Matter: Atoms, Molecules, Nuclei, and Particles. CRC Press. 2002. ISBN 0849312027
^ Florian Cajori. A History of Physics in Its Elementary Branches: Including the Evolution of Physical Laboratories . The Macmillan Company. 1899: 218–219. ^ 在这本书内，读者可以找到大量关于有机电化学的论述：Christian Amatore. Basic concepts. Henning Lund, Ole Hammerich (编). Organic electrochemistry 4. CRC Press. 2000. ISBN 0824704304
^ 电负性的点子，经过延伸后，已经囊括了“电负性等化”的概念，即当分子集聚在一起时，其电子会重新排列，以达到不会感受到任何合力的平衡状态。请参阅书籍Francis A. Carey, Richard J. Sundberg. Advanced organic chemistry 5. Springer. 2007: 11 . ISBN 0387683461
^ 这本书籍详细论述电极与电解质的离子之间电子传输的微观过程：
BE Conway. Energy factors in relation to electrode potential. Electrochemical supercapacitors . Springer. 1999: 37. ISBN 0306457369
^ Colin B P Finn. Thermal Physics. CRC Press. 1992: 163. ISBN 0748743790 ^ Tai L. Chow, Electromagnetic theory, Sudbury MA: Jones and Bartlett: pp. 172-175, 2006, ISBN 0-7637-3827-1 ^ Flanders, Harley, Differentiation under the integral sign, American Mathematical Monthly, Jun–Jul 1973, 80 (6): 615–627, doi:10.2307/2319163
![{\displaystyle \int _{\Sigma _{ribbon}}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{\partial \Sigma (t)}\mathbf {B} \cdot [\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times (\mathbf {v} \mathrm {d} t)]=\int _{\partial \Sigma (t)}[(\mathbf {v} \mathrm {d} t)\times \mathbf {B} ]\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b44b90785183ddf8a53f890c9a6c50b062d2a5c)
