在A和B两个K-多元环之间的同态是指一个函数
,此函数能使得对所有在K内的k和在A内的x、y来说,
若F是双射的,则F称为是A和B之间的同构。
例子
令A=K[x]为在一个体K上的所有多项式所组成的集合,且B为一个在K上所有多项式函数所组成的集合,则A跟B两个都会是在K上分别由标准的多项式和函数的乘法及加法所构成的代数。可以将每个在A内的
以
的方式映射至于B内的
。很简单便可以知道这个映射
会是一个A和B两个代数之间的同态。若K是一个有限体的话,则可令
![{\displaystyle p(x)=\Pi _{t\in K}(x-t).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b4e0478a01c8a228cd6983115dc3eb5595c6957)
其中p是一个在K[x]内的非零多项式。但对所有在K内的t,
,所以其映射
都会是一个零值函数,这两个代数因此不会是同构的。
若K是无限的,则令
。接下来要证明这会使得
。设
和
为K内n+1个不同的元素,则对
都会有
。再利用拉格朗日插值便能得到
。因此映射
是单射的,故而有一个在A和B之间的同构。