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伽罗瓦上同调

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数学中,伽罗瓦上同调是一套用群上同调研究伽罗瓦群的作用的技术。具体言之,假设伽罗瓦群 作用在一个群 (通常是数论中出现的代数结构,如 等等)上,伽罗瓦上同调研究相关的群上同调 。这些群通常具有重要的数论或算术代数几何意义。

伽罗瓦上同调是现代代数数论的基石之一。

在代数数论中的应用

伽罗瓦上同调最早在1950年代被提出,主要与克劳德·谢瓦莱在类域论上的工作相关。这套理论的目的在以群上同调“代数地”阐释类域论,避免使用L-函数哈瑟原理在伽罗瓦上同调的框架下能得到清晰的描述。

在代数几何中的应用

伽罗瓦上同调关系到算术代数几何中的许多重要问题,例如椭圆曲线上的整点个数。作为下降理论在平展拓扑上的应用,第一个伽罗瓦上同调群分类了概形 上的扭子,这是主丛在代数几何上的推广。借着下降理论,可以用伽罗瓦上同调研究二次型式中心单代数与 Severi-Brauer 簇等等结构。

文献

  • Serre, Jean-Pierre (2002), Galois cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1867431, ISBN 978-3-540-42192-4, translation of Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).