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可均群

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可均群数学上一个特别的局部紧拓扑群G,具备了一种为在G上的有界函数取平均的操作,而且G在函数上的群作用,不会改变所取得的平均。

缘起

巴拿赫-塔斯基悖论

上的勒贝格测度,存在不可测的有界子集豪斯多夫研究能否在上定义新的测度,使之可以对所有有界子集都是可测的。他要求新的测度保留勒贝格测度的等距变换不变性,就是移动及反射一个有界子集,不会改变其测度。不过,新测度无需有勒贝格测度的σ可加性(可数无限可加性),就是可数无限个不相交子集的测度总和,等于其并集的测度。他只要求新测度满足较弱的有限可加性,就是有限个不相交子集的测度总和,等于其并集的测度。

但是,豪斯多夫、巴拿赫塔斯基后来的研究,发现了维度不小于3的中,任意两个有内点的有界子集,可以将其一分成有限块,再移动拼合成另一个,这就是著名的巴拿赫-塔斯基悖论。因此3维以上不可能有豪斯多夫所要的测度。而在2维就不存在这种情况。

冯纽曼研究他们的证明,发现问题关键不是在的结构,而是在的旋转群上。3维以上的,其旋转群子群是秩2的自由群;而2维时,旋转群没有这样的子群。

于是豪斯多夫原来的测度问题,可以把对象转到群上面。新的问题是:在一个群G上,是否存在有限可加的概率测度,是G-不变的,即是在G对其中的子集的群作用下不变:对任何和任何。这样的概率测度称为不变平均。(函数以这测度积分,像是取加权平均。)由此产生了可均群的概念。因为有限可加测度不像σ可加测度有好的理论,便改为考虑与有限可加测度对应的连续线性泛函[1][2]

外文名称

可均群的德文名称Mittelbare Gruppe,法文名称groupe moyennable,其中Mittel、moyenne分别为德文及法文中的平均一字,故此Mittelbare,moyennable两字意思就是可以有平均。英文名称amenable group,是英国数学家Mahlon M. Day所译,字面上与德文及法文不同,但这是藉谐音玩的文字游戏,因为amenable的英式读音,与"a mean able"相同(用美式读音就失去谐音效果),故此说出来其实也是“可以有一个平均”。

定义

G局部紧群G上存在左哈尔测度。考虑在测度空间上的复值本质有界函数空间

线性泛函称为平均,如果范数是1,并且是非负的:若实值函数适合,则

如果是一个平均,则有,其中G特征函数。而且对任何实值函数

其中ess sup和ess inf分别是函数的本质上确界和本质下确界

一个平均是左不变的,如果对任何,在左作用下,都有

局部紧群G如果有一个左不变平均,就称为可均群

可均群有很多等价定义。[3]其中一个是Følner条件:[4]

对任何,任何紧子集,都存在一个紧子集,使得对所有都符合不等式

此处对称差

如果G可数无限离散群,Følner条件等价于: G中存在有限子集,使得对任何

这样的称为Følner序列。

性质

可均群的子群都是可均的。

H是可均群G的闭正规子群,那么是可均群。

H是局部紧群G的闭正规子群,而且H都是可均群,那么G也是可均群。

G是局部紧群,I有向集合G的闭可均子群组成的,对任何,有。那么G的可均子群。

例子

有限群是可均群。更一般地,紧群是可均群,其哈尔测度是一个不变平均。[5]

整数群和实数群是可均群,一个在中长度趋向无穷的有界区间序列是一个Følner序列。

局部紧的阿贝尔群是可均群。因此,局部紧的可解群是可均群:若G是局部紧的可解群,则有导出列

其中。每个都是阿贝尔群,所以是可均的,而平凡子群{1}也是可均群。从可均群的性质,得出G是可均群。

一个有限生成群G次指数增长的,如果G中存在一个有限生成集合S,有对称性,使得[6]

次指数增长的有限生成群是可均群。

证明

从定义知对每个,都存在使得

对每个,有。对任何都有。于是

每个都可写成。设, 。用集合关系式,得出

因此

所以是一个Følner序列,故G是可均群。

有限生成群,而是可均的。若拟等距同构,那么也是可均群。[7]

秩2的自由群不是可均群。

证明

a,b生成元的元素都可以用a,b写成。假设有不变平均M。考虑的一个子集AA包含所有简约字以开首的元素。(n是某个不等于0的整数。)那么A, bA, 的不相交子集,所以

另一方面,,所以

这两条不等式互相矛盾,故上不存在不变平均,即是非可均的。

所以一个群若包含离散子群,则不是可均群。

如把n维空间旋转群SO(n)看成离散群,则n不小于3时SO(n)包含为(离散)子群,因此是非可均群,但SO(2)是阿贝尔群,因此是可均群。这是巴拿赫-塔斯基悖论证明中的构造法在n不小于3时可行,在n等于2时不可行的原因。不过若用SO(n)原来的拓扑,则对所有n,SO(n)都是紧群,所以都是可均群。

一个殆连通的局部紧群G是可均群,当且仅当G不包含为离散子群。[8](设G单位连通区。若紧致,则G称为殆连通群。)

冯纽曼猜想推测非可均群都有子群是秩2的自由群,但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他证明了塔斯基魔群是非可均的。G是一个塔斯基魔群,如果有一个固定的素数pG中所有真子群除了平凡子群外,都是p循环群。所以塔斯基魔群没有子群是秩2的自由群。

脚注

  1. ^ Pier,Ch. 1 §1.
  2. ^ Paterson,Ch. 0.
  3. ^ Pier,Ch. 2.
  4. ^ Paterson,4.10.
  5. ^ Pier,Prop. 12.1.
  6. ^ Paterson,6.41.
  7. ^ Ghys, de la Harp (éd.),Ch. 1 Exercice 24.
  8. ^ Paterson,3.8.

参考

  • Pier, Jean-Paul. Amenable locally compact groups. Wiley. 1984. 
  • Paterson, Alan. Amenability. American Mathematical Society. 1988. 
  • É. Ghys, P. de la Harpe (éd.) (编). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov.. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser. 1990.