图中的两条虚线相对于它们的端点是同伦的。动画表示了一种可能的同伦。
同伦(英语:Homotopic[注 1])在数学和拓扑学上描述了两个对象间的“连续变化”。两个定义在拓扑空间之间的连续函数,如果其中一个能“连续地形变”为另一个,则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同伦群和上同伦群的定义,它们是代数拓扑中重要的不变量。
事实上,在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱。
定义
两个将环面映射到R3的嵌入之间的同伦:“咖啡杯的表面”与“甜甜圈的表面”。这也是一个同痕的例子。
给定两个拓扑空间
和
。考虑两个连续函数
,若存在一个定义在空间 X 与单位区间 [0,1] 的积空间上的连续映射
使得:
![{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e965e16a75cb013547932b0d37fe357323e3eb4a)
![{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eca2a312dbd050af4c93000b6db55ed2158223)
则称
是
之间的一个同伦[1]:183。
如果我们将 H 的第二个参数当作时间,这样 H 相当于描述了一个从 f 到 g 的连续形变:0 时刻我们得到函数f,1 时刻我们得到函数 g。
我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”,当控制条从0滑动至1时,函数 f 平滑地转变为函数 g,反之亦然。
另一种观点是:对每个
,函数
定义一条连接
与
的路径:
![{\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10933c953a20a4add485e31d5622ad201928e017)
右侧的循环动画展示了两个嵌入R3中的环面之间的同伦。X 是环面,Y 是 R3。f,g 是从环面到
R3的连续函数,当动画开始时,f 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。g 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了ht(x)作为时间的函数时的图像。每一次循环中,时间 t 从 0 变成 1,暂停一会,又从 1 变成 0。
性质
当且仅当存在同伦 H 将 f 变换为 g时,称连续函数 f 和 g 是同伦的。同伦是 X 到 Y 上所有的连续函数之间的一种等价关系[1]:184。以下情形中,同伦关系满足函数的复合:
如果 f1, g1 : X → Y 是同伦的,并且 f2, g2 : Y → Z 是同伦的,则他们的复合 f2 ∘ f1 与 g2 ∘ g1 : X → Z 也是同伦的。
例子
例一:取
,
,
及
。则
与
透过下述函数在
中同伦。
![{\displaystyle H(x,t)=1-2t\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08feae48f48c00fc51e66679fc87a84d3514c83d)
- (注意到此例子不依赖于变数
,通常并非如此。)
- 注:“在
中同伦”的说法提示一个重点:在例一中若将
代为子空间
,则虽然
与
仍取值在
,但此时它们并不同伦。此点可藉中间值定理验证。
例二:取
,
,
及
。则
描绘一个以原点为圆心的单位圆;
停在原点。
与
透过下述连续函数同伦:
![{\displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94756ba711b36e05323c842af2d04d47ba224c55)
- 几何上来看,对每个值
,函数
描绘一个以原点为圆心,半径
的圆。
相对同伦
为定义高阶基本群,必须考虑相对于一个子空间的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化,正式定义是:设
是连续函数,固定子空间
;若存在前述同伦映射
,满足:
![{\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91efda096e737a7a616fc9e24ef309d8d6a2836f)
![{\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadb719bf1a39bef138582cf2347f5fb8c71159f)
则称
相对于
同伦。若取
,则回到原先的同伦定义。
空间的同伦等价
给定两个拓扑空间
与
,我们称之同伦等价(或称具相同伦型),当且仅当存在两个连续映射
与
,使得:
同伦到
的恒等映射
。
同伦到
的恒等映射
。
同胚蕴含同伦,反之则不然,详见以下例子:
例三:
- 一个平面上的圆或椭圆同伦等价到
,即去掉一点的平面。
- 线段
、闭圆盘及闭球间两两同伦等价,它们皆同伦等价于一个点。
同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。许多代数拓扑学里的性质均在同伦等价下不变,包括有:单连通、同调群及上同调群等等。
同痕
同痕(Isotopy)是同伦的加细版;我们进一步要求所论的函数
和
是嵌入,并要求两者间可用一族嵌入映射相连。
定义如此:
与
被称为同痕的,当且仅当存在连续映射
使之满足:
![{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e965e16a75cb013547932b0d37fe357323e3eb4a)
![{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eca2a312dbd050af4c93000b6db55ed2158223)
- 对所有
,映射
是个嵌入映射。
同痕的概念在纽结理论中格外重要:若两个结同痕,则我们视之相等;换言之,可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。
注释
参考
参见