字符串运算

在电脑科学领域形式语言理论中，经常用到各种字符串函数；但是符号不同于电脑编程中所用到的，某些在理论领域中常用的函数，在编程中很少用到。本文定义其中一些基本术语。

字符串的字母表

字符串的字母表是在一个特定字符串中出现的所有字母的列表。如果 s 是字符串，则它的字母表指示为

$\operatorname {Alph} (s)$

这可以等价地认为是先把字符串中的所有字母按照给定的顺序排好，再去掉其中重复者。

字符串代换

设 L 是一个语言，并设 $\Sigma$ 是它的字母表。字符串代换或简称代换是映射 f，它把 $\Sigma$ 中的字母映射到(可能有不同的字母表的)语言。比如，给定一个字母 $a\in \Sigma$，有 $f(a)=L_{a}$ 这里的 $L_{a}\subset \Delta ^{*}$ 是其字母表为 $\Delta$ 的某个语言。这个定义可被扩展到字符串为

$f(\varepsilon )=\varepsilon$

对于空串 $\varepsilon$，和

$f(sa)=f(s)f(a)$

对于字符串 $s\in L$。字符串代换可以被扩展到整个语言为

$f(L)=\bigcup _{s\in L}f(s)$

字符串代换的一个例子出现在正则语言中，它闭合于字符串代换之下。就是说，如果一个正则语言的字母被另一个正则语言所代换，结果仍是正则语言。

字符串同态

字符串同态是使得每个字母被替代为一个单一字符串的字符串代换。就是说，$f(a)=s$，这里的 s 是字符串，对于每个字母 a。字符串同态是保持字符串连接二元运算的同态。给定一个语言 L，$f(L)$ 的集合叫做 L 的同态像。字符串 s 的逆同态像被定义为

$f^{-1}(s)=\{w\vert f(w)=s\}$

而语言 L 的逆同态像被定义为

$f^{-1}(L)=\{s\vert f(s)\in L\}$

注意一般的说 $f(f^{-1}(L))\neq L$，然而确实有

$f(f^{-1}(L))\subseteq L$

和

$L\subseteq f^{-1}(f(L))$

对于任何语言 L。简单单一字母置换密码是字符串代换的例子。

字符串投影

如果 s 是字符串，而 $\Sigma$ 是字母表，s 的字符串投影是通过删除不在 $\Sigma$ 中的所有字母结果的字符串。它被写为 $\pi _{\Sigma }(s)\,$。它通过从右手端切除字母来得出形式定义:

$\pi _{\Sigma }(s)={\begin{cases}\varepsilon &{\mbox{if }}s=\varepsilon {\mbox{ the empty string}}\\\pi _{\Sigma }(t)&{\mbox{if }}s=ta{\mbox{ and }}a\notin \Sigma \\\pi _{\Sigma }(t)a&{\mbox{if }}s=ta{\mbox{ and }}a\in \Sigma \end{cases}}$

这里的 $\varepsilon$ 指示空串。字符串的投影本质上同于关系代数中的投影。

字符串投影可以提升为语言的投影。给定形式语言 L，它的投影给出自

$\pi _{\Sigma }(L)=\{\pi _{\Sigma }(s)\vert s\in L\}$

右商

字符串 s 与字母 a 的右商是在字符串 s 中切断右手端字母 a 得到的字符串。它被指示为 $s/a$。如果字符串在右手端没有 a，则结果是空串。就是:

$(sa)/b={\begin{cases}s&{\mbox{if }}a=b\\\varepsilon &{\mbox{if }}a\neq b\end{cases}}$

空串的右商可以是:

$\varepsilon /a=\varepsilon$

类似的，给出幺半群 $M$ 的子集 $S\subset M$，可以定义商子集为

$S/a=\{s\in M\vert sa\in S\}$

左商可以类似的定义，运算发生在字符串的左端。

语法关系

幺半群 $M$ 的子集 $S\subset M$ 的右商定义了一个等价关系，叫做 S 的右语法关系。它给出为

$\sim _{S}\;\,=\,\{(s,t)\in M\times M\vert S/s=S/t\}$

关系明显是有有限索引的(有有限数目个等价类)，当且仅当右商族有限的；就是说如果

$\{S/m\vert m\in M\}$

是有限的。在这种情况下，S 是可识别语言，就是说可被有限状态自动机识别的语言。这个在语法幺半群中详细讨论。

右取消

字符串 s 与字母 a 的右取消是切除字符串 s 右手端的字母 a 的首次出现得到的字符串。它被指示为 $s\div a$ 并被递归的定义为

$(sa)\div b={\begin{cases}s&{\mbox{if }}a=b\\(s\div b)a&{\mbox{if }}a\neq b\end{cases}}$

空串总是可取消的:

$\varepsilon \div a=\varepsilon$

明显的，右取消和投影可交换:

$\pi _{\Sigma }(s)\div a=\pi _{\Sigma }(s\div a)$

前缀

字符串的前缀是关于给定语言一个字符串的所有前缀的集合:

$\operatorname {Pref} _{L}(s)=\{t\vert s=tu{\mbox{ for }}u\in L\}$

语言的前缀闭包是

$\operatorname {Pref} (L)=\bigcup _{s\in L}\operatorname {Pref} _{L}(s)$

一个语言叫做前缀闭合的，如果 $\operatorname {Pref} (L)=L$。明显的，前缀闭包算子是幂等的:

$\operatorname {Pref} (\operatorname {Pref} (L))=\operatorname {Pref} (L)$

前缀关系是二元关系 $\sqsubseteq$，有着 $s\sqsubseteq t$ 当且仅当 $s\in \operatorname {Pref} _{L}(t)$。

前缀文法生成(关于这个文法)前缀闭合的语言。

参见

• 字符串函数（C 语言）
• 字符串函数（C++）
• Levi引理

引用

• John E. Hopcroft and Jeffrey D. Ullman, Introduction to Automata Theory, Languages and Computation, Addison-Wesley Publishing, Reading Massachusetts, 1979. ISBN 0-201-02988-X. (See chapter 3.)