对称化

数学中，对称化是将n元任意函数转换为n元对称函数的过程。同样，反对称化将n元任意函数转换为反对称函数。

二元

令S为集合，A是加法阿贝尔群。映射 $\alpha :S\times S\to A$ ，若满足以下条件，则称其为对称映射： $\alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad \forall s,t\in S.$ 若满足以下条件，则称其为反对称映射： $\alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad \forall s,t\in S.$

映射 $\alpha :S\times S\to A$ 的对称化是映射 $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x).$ 相似地，映射 $\alpha :S\times S\to A$ 的反对称化或斜对称化是映射 $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x).$

映射 $\alpha$ 的对称化与反对称化之和为 $2\alpha .$ 因此，若2是可逆元，例如对实数，可以除以2并将每个函数表为对称函数与反对称函数之和。

对称映射的对称化是它的两倍，交错映射的对称化是0；相似地，对称映射的反对称化是0，反对称映射的反对称化是它的两倍。

双线性形式

双线性映射的（反）对称化是双线性的，因此若2是可逆元，双线性形式是对称形式与斜对称形式之和，对称形式与二次型之间没有区别。 2时，并非所有形式都可分解为对称形式与斜对称形式。例如，整数上，相关的对称形式（有理数上）可能取半整数值，而在 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 上，当且仅当函数是对称的（ $1=-1$ ），才是斜对称的。