平坦性
系统科学中的平坦性（Flatness）是一种系统的特性，将线性时不变系统理论中的可控制性扩展到非线性动力系统。具有平坦性的系统称为平坦系统。平坦系统具有（虚拟的）平坦输出，可以用平坦输出以及其有限微分的组合来显式表示所有的状态以及输入。
定义
非线性系统 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t)), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0, \quad \mathbf{u}(t) \in R^m, \quad \mathbf{x}(t) \in R^n, \text{Rank} \frac{\partial\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{u})}{\partial\mathbf{u}} = m}
具有平坦性，假设存在输出
解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathbf{y}(t) = (y_1(t),...,y_m(t))}
满足以下条件：
- 信号解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_i,i=1,...,m} 可以表示为状态解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_i,i=1,...,n} 及输入解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle u_i,i=1,...,m} 、以及输入对时间的有限次微分解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle u_i^{(k)}, k=1,...,\alpha_i} 的函数：解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathbf{y} = \Phi(\mathbf{x},\mathbf{u},\dot{\mathbf{u}},...,\mathbf{u}^{(\alpha)})} 。
- 状态解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_i,i=1,...,n} 及输入解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle u_i,i=1,...,m} 可以表示为输出解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_i,i=1,...,m} 以及其对时间的有限次微分解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_i^{(k)}, i=1,...,m} 的函数。
- 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathbf{y}} 的元素是微分独立的，也就是说，不会使以下的微分方程成立解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \phi(\mathbf{y},\dot{\mathbf{y}},\mathbf{y}^{(\gamma)}) = \mathbf{0}} 。
若上述条件至少有在局部成立，则（可能是虚拟的）输出则称为平坦输出，系统即为平坦系统。
和可控制性的关系
线性时不变系统 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}\mathbf{u}(t), \quad \mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0} 若解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \mathbf{x},\mathbf{u}} 的信号维度相同，对应非线性系统平坦性的充分必要条件是系统有可控制性。因此线性时不变系统中这二种性质是等效的，可以互换。
重要性
平坦性的特性可以用在分析非线性动态系统，以及合成其控制器上。在解决轨迹规划问题和渐近设定点追随控制时特别好用。
参考资料
- M. Fliess, J. L. Lévine, P. Martin and P. Rouchon: Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples. International Journal of Control 61(6), pp. 1327-1361, 1995 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- A. Isidori, C.H. Moog et A. De Luca. A Sufficient Condition for Full Linearization via Dynamic State Feedback. 25th CDC IEEE, Athens, Greece, pp. 203 - 208, 1986 [2]