拉西奥娃-西科尔斯基引理

在公理集合论中，拉西奥娃-西科尔斯基引理（Rasiowa–Sikorski lemma）是力迫使用的技巧中最基本的事实之一，该引理以海伦娜·拉西奥娃（英语：Helena Rasiowa）和罗曼·西科尔斯基（英语：Roman Sikorski）为名。

引理内容

在力迫的领域中，若说偏序集 $\left(P,\leq \right)$ 的子集 $E$ 在 $P$ 中稠密，就表示对于任意的 $p\in P$ 而言，有 $e\in E$ 使得 $e\leq p$ ；而若 $D$ 是 $P$ 的稠密子集的集族，那么在满足以下条件的状况下，就称 $P$ 中的滤子 $F$ 是 $D$ －一般（英语：generic filter）的：

F\cap E\neq \emptyset ,\forall E\in D

再有这些预备知识，就可以来描述拉西奥娃－西科尔斯基引理：

设

\left(P,\leq \right)

是一个偏序集且

p\in P

，若

D

是

P

的稠密子集的可数集族，那就存在一个

P

中的

D

－一般（英语：generic filter）的滤子

F

，使得

p\in F

证明

此引理证明如下：

由于 $D$ 可数之故，因此可以将 $P$ 的子集给编号为 $D_{1},D_{2},D_{3},...$ 等等，由假设可知，存在一个 $p\in P$ ，然后由稠密性可知，存在一个 $p_{1}\leq p$ 且 $p_{1}\in D_{1}$ ，如是反复，可得 $...\leq p_{2}\leq p_{1}\leq p$ ，其中 $p_{i}\in D_{i}$ ，因此 $G=\left\{q\in p:\exists i,q\geq p_{i}\right\}$ 是 $D$ －一般（英语：generic filter）的滤子。

可以认为拉西奥娃－西科尔斯基引理是马丁公理较弱的版本，或说拉西奥娃-西科尔斯基引理等价于 $\operatorname {MA} (\aleph _{0})$ 。

例子

对于 $\left(P,\leq \right)=(func(X,Y),\supseteq )$ ，也就是从 $X$ 到 $Y$ 的、由包含关系定义的反向偏函数的偏序而言，若定义 $D_{x}=\left\{s\in P:x\in dom(s)\right\}$ ，那在这种状况下，若 $X$ 可数，则拉西奥娃－西科尔斯基引理可得一个 $\left\{D_{x}:x\in X\right\}$ －一般的滤子 $F$ 及一个函数 $F:X\rightarrow Y$
假若我们使用处理 $D$ －一般的滤子的符号，那么 $\left\{H\cup G_{0}:P_{ij}P_{t}\right\}$ 可得一个 $H$ －一般滤子（英语：generic filter）
若 $D$ 不可数，但其基数严格小于 $2^{\aleph _{0}}$ 且其偏序集满足可数链条件，那我们可使用马丁公理。