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期望

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概率论统计学中,一个离散性随机变量期望(或数学期望,亦简称期望,物理学中称为期待值)是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说,期望像是随机试验在同样的机会下重复多次,所有那些可能状态平均的结果,便基本上等同“期望”所期望的数。期望可能与每一个结果都不相等。换句话说,期望是该变量输出值的加权平均。期望并不一定包含于其分布值域,也并不一定等于值域平均值。

例如,掷一枚公平的六面骰子,其每次“点数”的期望是3.5,计算如下:

不过如上所说明的,3.5虽是“点数”的期望,但却不属于可能结果中的任一个,没有可能掷出此点数。

数学定义

如果是在概率空间中的随机变量,那么它的期望的定义是:

并不是每一个随机变量都有期望的,因为有的时候上述积分不存在。

如果两个随机变量的分布相同,则它们的期望也相同。

如果离散的随机变量,输出值为,和输出值相应的概率为(概率和为1)。

级数绝对收敛,那么期望是一个无限数列的和。

如果连续的随机变量,存在一个相应的概率密度函数,若积分绝对收敛,那么的期望可以计算为:

是针对于连续的随机变量的,与离散随机变量的期望的算法同出一辙,由于输出值是连续的,所以把求和改成了积分。

性质

  • 期望线性函数
    为在同一概率空间的两个随机变量(可以独立或者非独立),为任意实数
  • 一般的说,一个随机变量的函数的期望并不等于这个随机变量的期望的函数。
  • 一般情况下,两个随机变量的积的期望不等于这两个随机变量的期望的积
    成立时,随机变量协方差为0,又称它们不相关。特别的,当两个随机变量独立时,它们协方差(若存在)为0。

期望的运用

统计学中,估算变量的期望时,经常用到的方法是重复测量此变量的值,再用所得数据的平均值来估计此变量的期望。

概率分布中,期望和方差标准差是一种分布的重要特征。

古典力学中,物体重心的算法与期望的算法十分近似。

在赌博中,期望又称预期值长期效果值合理价值期待值,都能完全贴和,而其计算的方式为:

(期望)胜的概率获胜的筹码输的概率输掉的筹码

期望也可以通过方差计算公式来计算方差

(平方的期望减期望的平方)

其他写法

在机器学习领域的文章中,常常在期望算子的下标中指定服从的分布。例如:随机变量的函数的期望常常写成这样:

的概率密度函数。

参考文献