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根轴

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根轴(英语:radical axis)是由两个唯一确定的,与两圆连心线垂直的直线,其定义为关于两圆的圆幂相等的点的轨迹

性质

几何形状及其位置的确定

令向量分别为根轴上的点 、两圆圆心的位置。则根轴的“曲线”方程为:

的定义和计算

从右等式可知根轴是一条垂直于连心线的直线。因内积大小仅由方向的分量决定,所以根轴是一条垂直于连心线的直线。

根轴在连心线上的垂足与圆心的距离分别满足
,
其中 .

如果两圆相交,则根轴为它们交点的连线;如果两圆相切,则根轴为它们的公切线[1]:27

根心

定义

三个圆能画出三条根轴,这三条根轴交于一点,称为三个圆的根心,若三个圆的圆心共线,则其根心为垂直于连心线方向上的无穷远点[1]:27

存在性的证明

考虑三圆两两构成的三条根轴。令根轴以及根轴的交点。有


其中表示点关于圆的幂。

则知点关于的圆幂都相等,因此它在第三条根轴上,换言之,三条根轴共点,存在根心。

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 Chen, Evan. 2.3 The Radical Axis and Radical Center (PDF). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. United States of America: MAA. 2016: 26–30 [2023-01-23]. ISBN 978-1-61444-411-4. MR 3467691. (原始内容存档 (PDF)于2023-01-23). 

外部链接