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泛包络代数

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数学中,我们可以构造任意李代数 泛包络代数 。李代数一般并非结合代数,但泛包络代数则是带乘法单位元的结合代数。李代数的表示理论可以理解为其泛包络代数的表示理论。在几何上,泛包络代数可以解释为李群上的左不变微分算子。

泛性质

以下固定 。首先注意到:对任意带乘法单位元的 -结合代数 ,定义括积 ,可视 为李代数。

泛包络代数系指带单位元的结合代数 及一个指定的李代数同态 。这对资料由下述泛性质刻划:

对任意带乘法单位元的 -结合代数 , 若存在李代数同态

则存在唯一的代数同态

使之满足

换言之,函子 满足下述关系:

借此,可视 (单位结合代数)(李代数)的左伴随函子

构造方式

首先考虑张量代数 ,此时有自然的包含映射 。取 为下列元素生成的双边理想

定义

所求的映射 与商映射的合成。容易验证 保存李括积。

根据上述构造,可直接验证所求的泛性质。

基本性质

  • 可交换,则 亦然;此时 同构于多项式代数。
  • 来自李群 ,则 可理解为 上的左不变微分算子。
  • 的中心 显然包含 ,但不仅如此,通常还包括更高阶的元素,例如喀希米尔元素;这种元素给出李群上的拉普拉斯算子

庞加莱-伯克霍夫-维特定理

庞加莱-伯克霍夫-维特定理是泛包络代数的根本定理之一。取定有限维李代数 的基 ,此定理断言

的基。此定理的直接推论是: 为单射。

表示理论

在泛性质中取 ,其中 为任意向量空间,遂可等同 的表示与 的表示,后者不外是 -。借此观点,李代数表示理论可视为模论的一支。

群代数之于群表示一如泛包络代数之于李代数的表示。两者都具有霍普夫代数结构。

文献

  • Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Revised reprint of the 1977 translation. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6