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范德蒙恒等式

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范德蒙恒等式(英文:Vandermonde's Identity)是一个有关组合数的求和公式。

证明

组合方法

甲班有 个同学,乙班有 个同学,从两个班中选出 个同学有种方法。

从甲班选 名,从乙班选 名有种方法,考虑所有情况,从两个班中合计 选出个同学有 种方法。

所以 [1]

母函数方法

注意到

等号左边化简成

等号右边则根据定义

比较 系数,可得

[1]

推广

多变量型

其中[2]

展开可得以上结论。

超几何函数

范德蒙恒等式是超几何函数的一个整数特例。

[3]

参考资料

  1. ^ 1.0 1.1 李松槐 杨伏香. 用数学模型证明范得蒙(Vandermonde)恒等式. 河南教育学院学报(自然科学版). 1999, (2) [2015-09-20]. (原始内容存档于2020-01-15). 
  2. ^ Hac`ene Belbachir. A combinatorial contribution to the multinomial Chu-Vandermonde convolution (PDF). RECITS Laboratory. 2014 [2018-06-12]. (原始内容 (PDF)存档于2020-11-30). 
  3. ^ Bailey, W.N. Generalized Hypergeometric Series (PDF). Cambridge University Press. 1935 [2018-06-12]. (原始内容 (PDF)存档于2017-06-24).