虚位移

粒子的运动轨道与虚轨道分别为$x(t)$与$x'(t)$。在位置$x_{1}$、时间$t_{1}$，虚位移为$\delta x$。两种轨道的初始位置与终止位置分别为$x_{0}$与$x_{2}$。

在分析力学里，保持时间不变，虚位移是符合约束条件的无穷小位移。由于任何物理运动都需要经过时间的演进才会有实际的位移，所以称保持时间不变的位移为虚位移。

如右图，假设一个粒子的运动轨道是$x(t)$，另外一条不违反约束条件的路径是$x'(t)$，则在时间$t_{1}$，虚位移是$\delta x=x'(t_{1})-x(t_{1})$。

假设一个位置向量$\mathbf {r} _{i}$是广义坐标$q_{1},q_{2},\dots ,q_{N}$与时间$t$的函数，$\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{N},t)$，则此位置向量的无穷小位移为

$\operatorname {d} \!\mathbf {r} _{i}={\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}\operatorname {d} \!t+\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\operatorname {d} \!q_{j}$；

虚位移$\delta \mathbf {r} _{i}$为

$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$。

物理系统的运动必须符合设定的约束条件，虚位移也必须符合约束条件。例如，假设一个弹珠被约束地只能移动于一个直立的圆圈。它的位置可以用角坐标$\theta$表示所在地点的角度。如果弹珠是在圆圈的顶端，将弹珠从高度$z$往上移至高度$z+dz$会违反约束条件，唯有可能的虚位移是将弹珠从位置$\theta$移至$\theta +\delta \theta$；这里，$\delta \theta$可以是正数或负数。

特别注意，虚位移只是空间位移；时间是固定的。虽然某一数值是空间与时间的参数，当计算此数值的虚全微分时，完全不考虑时间的相关性，也就是说$\delta t=0$。

参阅

• 虚功
• 达朗贝尔原理
• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学