调和映射
数学上,在黎曼流形M和N之间的一个(光滑)映射,称为调和映射,如果这个映射是狄利克雷能量泛函
的一个临界点。
试想像M是橡胶做的,N是大理石做的,形状由其度量决定,而映射φ:M→N给出把橡胶“贴附”在大理石上的方式。E(φ)就表示因橡胶的张力产生的弹性位能。用这个比喻,φ称为调和映射,如果把橡胶“松开”,但仍限制要处处与大理石接触时,那么橡胶已经在平衡的位置,所以不会“缩回”到另一个形状。
从完备黎曼流形到非正截面曲率的完备黎曼流形存在调和映射,这个结果是Eells & Sampson (1964)证出。
数学定义
给出黎曼流形(M,g), (N,h)和映射φ:M→N,定义φ在M中一点x上的能量密度为
其中是φ的微分的范数平方,范数是对向量丛T*M⊗φ−1TN上的导出度量而取。能量是能量密度在M上的积分
其中dvg是M上由度量导出的测度。这是古典狄利克雷能量的推广。
能量密度可以更明确地表作
当M是紧致时,则φ称为调和映射,若φ是能量泛函E的一个临界点。这个定义可以延伸至M不是紧致的情况:φ称为调和映射,若φ限制到任一个紧致区域上都是调和映射,换一个更通常的说法,就是若在索伯列夫空间H1,2(M,N)中φ是能量泛函一个临界点。
调和映射的另一个等价定义,就是φ满足与泛函E对应的欧拉-拉格朗日方程:
其中∇是向量丛T*M⊗φ−1上由M和N的列维-奇维塔联络导出的联络。式中τ(φ)是向量丛φ−1(TN)的截面,称为φ的张力场。用上文的物理比喻来说,τ(φ)是“橡胶”流形M要使能量极小化时在N中拟欲移动的方向。
例子
- 恒等映射和常映射是调和映射。
- 若M是实数线R(或圆S1),也就是说φ是N上的一条曲线(或闭曲线),那么φ是调和映射当且仅当φ是测地线。(这时上述的橡胶与大理石比喻,就变为测地线常用的橡皮圈比喻。)
- 若N是欧氏空间Rn,那么φ是调和映射当且仅当φ是通常意义上的调和函数(即拉普拉斯方程的一个解)。这是狄利克雷原理的结果。若φ是满射到N的开子集上的微分同胚,则φ给出一个调和座标系。
- 在欧氏空间中的极小曲面都是调和浸入。
- 更一般地,N中的极小子流形M是从M到N的调和浸入。
- 全测地映射都是调和映射。(此时不仅∇dφ*h的迹(trace),连∇dφ*h也变为零。)
- 凯勒流形间的任何全纯映射都是调和映射。
度量空间的调和映射
对于两个度量空间之间的映射u : M → N这个比黎曼流形弱的场合,能量积分也有相应的推广。(Jost 1995)这时用以下形式的函数代替能量积分:
其中με
x是依附在M每一点上的测度族。
参考
- Eells, J.; Sampson, J.H., Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math., 1964, 86: 109–160, JSTOR 2373037.
- Eells, J.; Lemaire, J., A report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc., 1978, 10: 1–68, doi:10.1112/blms/10.1.1.
- Eells, J.; Lemaire, J., Another report on harmonic maps, Bull. London Math. Soc., 1988, 20: 385–524.
- Jost, Jürgen, Equilibrium maps between metric spaces, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 1994, 2 (2): 173–204, ISSN 0944-2669, MR 1385525, doi:10.1007/BF01191341.
- Jost, Jürgen, Riemannian Geometry and Geometric Analysis 4th, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-3-540-25907-7.