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辛标记

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哈密顿力学里,因为哈密顿方程对于广义坐标 广义动量 的运算在正负号上并不对称,必须用两个方程来表示:

这里, 哈密顿量

辛标记提供了一种既简单,又有效率的标记方法来展示方程及数学运算。辛标记的英文名 “Symplectic notation” 最先是德国著名数学家赫尔曼·外尔提出的[1]。 Symplectic 这字原来在希腊文是纠缠编结的意思;用在这里主要是形容广义坐标和广义动量互相编结在一起的情况。

设定一个 的竖矩阵  :

此矩阵上半段是广义坐标、下半段是广义动量 代表转置运算。我们也可以将 视为一个向量

定义辛矩阵 为一个斜对称 方块矩阵

这里, 是由 4 个 零矩阵单位矩阵组成。

这样,哈密顿方程可以简易的表示为

正则变换

正则变换是一种正则坐标的改变,而同时维持哈密顿方程的形式,虽然哈密顿量可能会改变。所以,使用正则变换,正则坐标会从旧正则坐标 改变成新正则坐标 ;哈密顿量也从旧的哈密顿量 改变成新的哈密顿量 ;但是,哈密顿方程的形式仍旧维持不变:

帕松括号

相空间中,用正则坐标 ,两个函数泊松括号记作:

用辛标记,

参阅

参考文献

  1. ^ Goldstein, Herbert. Classical Mechanics 3rd. United States of America: Addison Wesley. 1980: pp. 343. ISBN 0201657023 (英语).