在物理学里,连续性方程(英语:continuity equation)是描述守恒量传输行为的偏微分方程。在适当条件下,质量、能量、动量、电荷等都是守恒量,因此很多传输行为都可以用连续性方程来描述。
连续性方程是局域性的守恒定律方程。与全域性的守恒定律相比,这种守恒定律条件更强。本条目内的所有关于连续性方程的范例都表达了同样的思想──在任意区域内某种守恒量总量的改变,等于从边界进入或离去的数量;守恒量不能够增加或减少,只能够从某一个位置迁移到另一个位置。
每一种连续性方程都既可以用积分形式表达(使用通量积分),描述任意有限区域内的守恒量;也可以用微分形式表达(使用散度算符),描述任意位置的守恒量。其微分形式与积分形式通过散度定理相互关联。
概论
微分形式
一般的连续性方程的微分形式为
;
其中,
是某物理量
的密度(每单位体积的物理量),
是
的流量密度(每单位面积每单位时间的物理量)的矢量函数(vector function),
是
在每单位体积每单位时间的生成量。
假若
则称
为“源点”;假若
则称
为“汇点”。假设
是没有产生或湮灭的守恒量,(例如,电荷),则
,连续性方程变为
。
从简单的“能量连续性方程”到复杂的纳维-斯托克斯方程,这方程可以用来表示任意连续性方程。该方程也是平流方程(advection equation)的推广。
另一些物理学中的方程也具有类似连续性方程的数学形式,例如电场的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被称为连续性方程,因为
并不代表真实物理量的流动。
积分形式
在连续性方程的积分形式里,
是包住体积
的任意闭曲面。如同图内左边的曲面(以蓝色显示),
没有边界;而图内右边的曲面都有边界(以红色显示)。
根据散度定理,连续性方程可以写为等价的积分形式:
;
其中,
是包住体积
的任意固定(不随时间改变)闭曲面,
是在体积
内的
总量,
是在积分体积
内源点与汇点的总生成量每单位时间,
是微小面矢量积分元素。
举一简例,假设
是台北101大楼,
是在大楼内某时间的总人数,
是由门口、墙壁、屋顶、地基等等,共同组成的曲面,则连续性方程表明,当人们进入大楼时(代表穿过曲面的内向通量),或当大楼里面的孕妇生产时(代表源点的
),在大楼里面的总人数会增加;而当人们离开大楼时(代表穿过曲面的外向通量),在大楼里面的总人数会减少。
电磁理论
在电磁理论里,连续性方程可以视为一条经验定律,表达局域电荷守恒,或是从麦克斯韦方程组推导出的结果。“电荷连续性方程”表明,电荷密度
的变率与电流密度
的散度,两者的代数和等于零:
。
麦克斯韦-安培方程满足局域电荷守恒的连续性方程
麦克斯韦-安培方程为
;
其中,
是磁场,
是电场,
是磁常数,
是电常数。
取散度于方程的两边,由于旋度的散度必是零,
。
高斯定律的方程为
。
将这方程代入,可以得到
。
电流是电荷的流量。连续性方程可以这样论述:假若电荷从某微小体积元素移动出去(电流密度的散度是正值),则在那微小体积元素内的总电荷量会减少,电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉,连续性方程就是电荷守恒。
四维电流
四维电流密度定义为
;
其中,
标记时空坐标,
是光速。
电荷守恒可以简洁地由四维电流密度的散度表达,即连续性方程
;
其中,
。
流体力学
在流体力学里,连续性方程表明,在任何稳定态过程中,质量进入物理系统的速率等于离开的速率。[1][2]。此时连续性方程与电路学的基尔霍夫电流定律类似。“质量连续性方程”的微分形式为[1]
;
其中,
是流体质量密度,
是流速矢量场,两者相乘后为质量通量。
假设流体是不可压缩流,则密度
是常数,质量连续性方程简化为体积连续性方程:[1]
。
这意味着,在所有位置,速度场的散度等于零;也就是说,局域的体积变率为零。
在另一方面,纳维-斯托克斯方程是一个矢量连续性方程,描述动量守恒。
能量
根据能量守恒,能量只能够传输,不能够生成或湮灭,这意味着“能量连续性方程”。这是在热力学定律(Laws of thermodynamics)外,能量守恒的另一种数学表述,即,
;
其中,
是能量密度(单位体积的能量),
是能量通量矢量(数值大小为单位截面面积每单位时间传输的能量,方向为截面的外法线方向)。
根据傅里叶定律(Fourier's law),对于均匀传导介质,
;
其中,
是热导率,
是温度函数。
能量连续性方程又可写为热传导方程,
。
量子力学
在量子力学里,从概率守恒可以得到“概率连续性方程”假设一个量子系统的波函数为
,概率流
的定义为
;
其中,
是约化普朗克常数,
是质量,
是
是共轭复数,
是取括弧内项目的虚部。
连续方程与概率守恒定律
概率流满足量子力学的连续方程:
;
其中,
是概率密度。
应用高斯公式,可以等价地以积分方程表示,
;(1)
其中,
是任意三维区域,
是
的边界曲面。
方程 (1) 左边第一个体积积分项(不包括对于时间的偏微分)是测量粒子位置时粒子在
内的概率。第二个曲面积分是概率流出
的通量。总之,方程 (1) 表明,粒子在三维区域
内的概率对于时间的微分,与其流出三维区域的概率
的通量,两者之和等于零。
连续方程推导
测得粒子在三维区域
内的概率
是
。
概率对于时间的导数是
;(2)
注意到
的含时薛定谔方程为
;
其中,
是位势。
将含时薛定谔方程代入方程 (2) ,可以得到
。
应用一则矢量恒等式,可以得到
。
这方程右手边第一项与第三项互相抵销,将抵销后的方程代入,
。
将概率密度方程与概率流定义式代入,
。
该等式对于任意三维区域
都成立,所以被积项目在任何位置都必须等于零:
。
参阅
参考文献