鸡爪定理
欧氏几何中,鸡爪定理[1](或内心/旁心引理,英语:incenter/excenter lemma)描述三角形的顶点、内心、旁心、外接圆的位置关系。其断言,三角形某顶点所对的旁心、另两个顶点、、内心四点共圆,且其圆心(中点)位于三角形的外接圆上。此定理的构形常于奥数几何题出现。[2]
叙述
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4b/Trillium_theorem.svg/260px-Trillium_theorem.svg.png)
设为任意三角形,为其内心,的角平分线交外接圆于。定理断言,到三点等远,即。
等价的说法有:
还有第四点也到等远,就是所对的旁心。在以为圆心的圆上,与互为对径点,即为的中点。[5][6]
证明
由于同弧所对的圆周角相等,有
又为角的平分线,有
故得证(等圆周角对等弦)。
最后计角有:
所以三角形有两底角相等,证毕。
应用于求作三角形
定理适用于解决以下问题:已知某三角形的一个顶点、内心和外心,求作该三角形。作法如下:
- 以为圆心,为半径,作圆。此为三角形的外接圆。
- 作直线,与外接圆交于(以外的另一点)。
- 以为圆心,为半径作圆,定理保证所得的圆过另两个顶点。
- 所以,该圆与外接圆的交点即为所求。[7]
然而,并非在平面上任意取三点作为皆有对应的三角形。若以上作法不能给出三角形,则问题可能出在与相切,也可能在于最后两圆相切或外离。而且,若三点无任何限制,则即使作法确实给出三角形,亦不必为其内心,可能是旁心。该些情况下,不存在三角形以为顶点,为内心、为外心。(对于固定的两点,若要存在此种三角形,则必须位于以为尖点关于作成的心脏线围成的区域中。)[8]
其他构作三角形的问题,如给定顶点、内心、九点圆心,求作三角形,有部分情况可化归为前述问题解决,但一般而言无法尺规作出。[8]
命名
本定理有许多不同的名称。“鸡爪定理”得名自诸线段组成的几何图形。同样,俄文称为лемма о трезубце[9][5],谓三叉引理,或теорема трилистника[10],谓三叶草定理。英文又称theorem of trillium“延龄草定理”,亦是以某种三叶植物命名。
定理亦有其他名称并非来自该形状,如“内心/旁心引理”(the incenter/excenter lemma)。[2]
参考文献
- ^ 金磊. 鸡爪定理. 《数学中的小问题大定理》丛书(第六辑). 哈尔滨工业大学出版社. 2020. ISBN 9787560384245.
- ^ 2.0 2.1 Evan Chen. Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads [奥数欧氏几何]. Mathematical Association of America. 2016: 9–10 [2021-12-12]. ISBN 9780883858394. (原始内容存档于2021-12-15) (英语).
This configuration shows up very often in olympiad geometry, so recognize it when it appears!
- ^ Morris, Richard, Circles through notable points of the triangle [过三角形特殊点的圆], The Mathematics Teacher, 1928, 21 (2): 63–71, JSTOR 27951001, doi:10.5951/MT.21.2.0069 (英语). 尤其见p. 65处关于诸圆及圆心的讨论。
- ^ Bogomolny, Alexander, A Property of Circle Through the Incenter [过内心的圆之某性质], Cut-the-Knot, [2016-01-26], (原始内容存档于2021-12-12) (英语).
- ^ 5.0 5.1 6. Лемма о трезубце [6. 三叉引理] (PDF). СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 2014-10-29 [2021-12-12]. (原始内容存档 (PDF)于2021-12-12) (俄语).
- ^ Bogomolny, Alexander, Midpoints of the Lines Joining In- and Excenters [内心与诸旁心所连线段之中点], Cut-the-Knot, [2016-01-26], (原始内容存档于2021-12-12) (英语).
- ^ Aref, M. N.; Wernick, William, Problems and Solutions in Euclidean Geometry [欧氏几何问题及解答], Dover Books on Mathematics, Dover Publications, Inc., 3.3(i), p. 68, 1968 [2021-12-12], ISBN 9780486477206, (原始内容存档于2021-12-12) (英语).
- ^ 8.0 8.1 Yiu, Paul, Conic construction of a triangle from its incenter, nine-point center, and a vertex [给定内心、九点圆心、一顶点,以圆锥曲线构作原三角形] (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 2012, 16 (2): 171–183 [2021-12-12], MR 3088369, (原始内容存档 (PDF)于2020-11-28) (英语)
- ^ Р. Н. Карасёв; В. Л. Дольников; И. И. Богданов; А. В. Акопян. Задачи для школьного математического кружка [数学兴趣小组题目] (PDF). Problem 1.2. : 4 [2021-12-12]. (原始内容存档 (PDF)于2021-12-12) (俄语).
- ^ И. А. Кушнир. Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера [这个发现——莱昂哈德·欧拉的金钥] (PDF). Ф7 (Теорема трилистника), p.34;证明见p.36. [2021-12-12]. (原始内容存档 (PDF)于2021-12-12).