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零一律

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零一律概率论中的一条定理。它是安德雷·柯尔莫哥洛夫发现的,因此有时也叫柯尔莫哥洛夫零一律。其内容是:尾事件发生的概率只能是一(几乎肯定发生)或零(几乎肯定不发生)。

尾事件以随机变量的无穷序列定义。假设

是无穷多个的独立的随机变量(不一定有同样的分布)。 记 生成的 σ-代数,则一个尾事件 就是与任意有限多个这些随机变量都独立的事件。(注意: 属于 ,意味着事件 发生或不发生由 的值确定,但此条件不足以证明零一律。)

比如,序列 收敛便是一个尾事件。此外,级数

收敛也是一个尾事件。级数收敛且大于1的事件并不是尾事件,因为它不是与X1的值无关。假如扔无穷多次硬币,则连续100次数字面向上的事件出现无限多次是一个尾事件。

直观地看,若可以无视前任意多个 的值,而仍能判断某事件是否发生,则该事件为尾事件。

许多时候,运用零一律很易证得某事件的概率必为 0 或 1,但却很难判断两者之中,何者为其真正的概率。

无限猴子定理是零一律的一个例子。

定理叙述

柯尔莫哥洛夫零一律更一般的论述对独立的 σ代数序列适用。令 (Ω, F ,P ) 是一个概率空间Fn 为包含于 F 的一列相互独立的 σ-代数。 令

是包含Fn, Fn+1, …的最小的 σ-代数。那么柯尔莫哥洛夫零一律断言对任意的事件

都有 P (F ) = 0 或 1。

把以上的 Fn 取为由随机变量 Xn 生成的 σ-代数,就得到定理对随机变量的叙述。此时,尾事件定义为既在由所有的 Xn 生成的 σ-代数中可测,也与任意有限多个 Xn 都独立的事件。换言之,尾事件是属于 的事件。

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参考资料