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烏鴉悖論

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一隻黑烏鴉
非黑非烏鴉

烏鴉悖論(英語:raven paradox),也叫做亨佩爾的烏鴉亨佩爾悖論,是1940年代德國邏輯學家卡爾·亨普爾為了說明歸納法違反直覺而提出的一個悖論

問題的綜述

幾千年以來,無數人觀察了許多事務,比如地心引力法則,人們趨於相信其極可能是真理。這種類型的推理可以總結成「歸納法原理」:

如果實例 X 被觀察到和論斷 T 相符合,那麼論斷 T 正確的概率增加。

亨佩爾給出了歸納法原理的一個例子: 「所有烏鴉都是黑色的」論斷。我們可以出去觀察成千上萬隻烏鴉,然後發現他們都是黑的。在每一次觀察之後,我們對「所有烏鴉都是黑的」的信任度會逐漸提高。歸納法原理在這裡看起來合理的。

現在問題出現了。「所有烏鴉都是黑的」 的論斷在邏輯上和「所有不是黑的東西不是烏鴉」等價。如果我們觀察到一個蘋果,它不是黑的,也不是烏鴉,那麼這次觀察必會增加我們對「所有不是黑的東西不是烏鴉」的信任度,因此更加確信「所有的烏鴉都是黑的!」這個問題被總結成:

我從未見過紫色的牛,
但若我見到一頭,
烏鴉皆黑的概率,
更加可能是一麼?

I never saw a purple cow
But if I were to see one
Would the probability ravens are black
Have a better chance to be one?

(改寫自吉利特·伯吉斯英語Gelett Burgess的詩)

解決提議

解決它和直覺的衝突,哲學家們提出了一些方法。美國邏輯學家納爾遜·古德曼建議對我們的推理添加一些限制,比如永遠不要考慮支持論斷「所有P滿足Q」且同時也支持「沒有P滿足Q」 的實例。

其他一些哲學家質疑「等價原理」。也許紅蘋果能夠增加我們對論斷「所有不是黑的東西不是烏鴉」的信任度,而不增加我們對 「所有烏鴉都是黑色的」信任。這個提議受到質疑,因為你不能對等價的兩個命題有不同的信任度,如果你知道他們都是真的或都是假的。

古德曼,以及其後的威拉德·馮·奧曼·蒯因,使用術語「projectible predicate」來描述這些類似於「烏鴉」和「黑色」的命題,所有這類命題是支持歸納推理法的;而「非projectible predicate」則為與之相反的後者,如「非黑」和「非烏鴉」這些命題並不支持歸納推理法。蒯因還提出一個需要證實的猜想:如果任何命題是projectible的;在無限物件組成的全集中,一個projectible的命題的補集永遠是非projectible的。

這樣一來,雖然「所有烏鴉都是黑的」和「所有不是黑的東西都不是烏鴉」這兩個命題所擁有的信任度必須相等,但只有「黑色的烏鴉」才能同時增加兩者的信任度,而「非黑色的非烏鴉」並不增加任何一個命題的信任度。

還有些哲學家認為其實這個命題是完全正確的,出錯的是我們自己的邏輯。其實觀察到一個紅色的蘋果確實會增加烏鴉都是黑色的可能性!這就相當於:如果有人把宇宙中所有不是黑的物體都給你看,而你發現所有的物體都不是烏鴉,那你就完全可以斷定所有烏鴉都是黑的了。這個「悖論」看上去荒謬只是因為宇宙中「不是黑的」物體遠遠多於「烏鴉」,所以發現一個「不是黑的」物體只增加了極其微小的對於「烏鴉都是黑的」的信任度,而相對而言,每發現一隻黑的烏鴉就是一個有力的證據了。

既然在邏輯上沒有矛盾,烏鴉悖論應該不是悖論,問題出在語感上,「烏鴉都是黑色的」,這是一個判斷句,後半句是結論,因此形容詞黑色不是修飾前面的烏鴉,而是修飾後面被省略掉的名詞,根據語感來看被省略的應該是鳥,完整的句子應該是「烏鴉都是黑色的鳥」。與之等價的句子是「不是黑色的鳥都不是烏鴉」,看到一隻白色的天鵝,的確不是烏鴉,在語感和邏輯上也都合理多了。

貝氏定理

除了以上的陳述以外,「歸納法原理」還有另一種形式,就是貝氏推理

X 為支持論斷 T 的一個實例,而 I 表示我們所有的已知信息。

表示論斷 T 成立的機率,已知 XI 都是成立的,可以推得,

這裡 表示在只有 I 是已知成立的情況下,T 成立的機率; 表示在 TI 都已知成立的情況下,X 成立的機率;而 表示在只有 I 是已知成立的情況下,X 成立的機率。

利用這個原理,這個悖論就不會出現了。如果有人隨機選一個「蘋果」,那麼他看到一個紅蘋果的機率和「烏鴉」的顏色是完全沒有關係的。這時分子等於分母,所以分數等於1,所以以上討論的機率不會改變。所以看見一隻紅色的蘋果不會增加人們對「烏鴉都是黑色的」的信任度。

而如果那人是隨機選擇一個非黑的「物件」,那個物件正好是一個紅的蘋果,那麼我們會得到一個分子大於分母的,幾乎等於一的假分數。所以在這個情況下,看見一隻紅蘋果確實會極微小地增加我們對「烏鴉都是黑色的」的信任度。

其實,隨著一個人看到的不是黑色的東西的增加(並發現其中沒有烏鴉),「烏鴉都是黑色的」的機率會趨向於1。

參見

參考書目

  • Hempel, C. G. A Purely Syntactical Definition of Confirmation. J. Symb. Logic 8, 122-143, 1943.
  • Hempel, C. G. Studies in Logic and Confirmation. Mind 54, 1-26, 1945.
  • Hempel, C. G. Studies in Logic and Confirmation. II. Mind 54, 97-121, 1945.
  • Hempel, C. G. Studies in the Logic of Confirmation. In Marguerite H. Foster and Michael L. Martin頁面存檔備份,存於網際網路檔案館),eds. Probability, Confirmation, and Simplicity. New York: Odyssey Press, 1966. Pp 145-183
  • Falletta, Nicholas. The Paradoxicon: a Collection of Contradictory Challenges, Problematical Puzzles, and Impossible Illustrations. 1983. Pp 126-131. ISBN 0385179324

外部連結