跳至內容

二次函數

本頁使用了標題或全文手工轉換
維基百科,自由的百科全書
解析式:

數學中,二次函數英語:quadratic function)表示形為 ,且是常數)的多項式函數,其中,為自變數[a]分別是函數解析式的二次項係數、一次項係數和常數項。二次函數的圖像是一條主軸平行於軸的拋物線[1]

二次函數表達式的定義是一個二次多項式,因為的最高冪次是2。

如果令二次函數的值等於零,則可得一個一元二次方程式二次方程式。該方程式的解稱為方程式的或函數的零點。

歷史

大約在公元前480年,古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程式的正根,但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程式。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得用使用代數方程式的人,它同時容許有正負數的根。[b]

11世紀阿拉伯花拉子米獨立地發展了一套公式以求方程式的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum,首次將完整的一元二次方程式解法傳入歐洲[c]

二次方程式 的兩個為:解方程式後,我們會得到兩個根:。則就是二次函數與軸的交點。根的類型如下:

  • 為一元二次方程式的判別式,又記作D。
  • ,則方程式有兩個不相等的根,也即與軸有兩個不重疊的交點,因為是正數。
  • ,則方程式有兩個相等的根,也即與軸有一個切點,因為是零。
  • ,則方程式沒有實數根,也即與 軸沒有交點,因為共軛複數

,我們可以把因式分解

二次函數的形式

二次函數可以表示成以下三種形式:

  • 稱為一般形式多項式形式
  • 稱為因子形式交點式,其中是二次方程式的兩個根,,拋物線軸的兩個交點。
  • 稱為標準形式頂點形式即為此二次函數的頂點。

把一般形式轉換成因子形式時,我們需要用求根公式來算出兩個根,或是利用十字交乘法(適用於有理數)。把一般形式轉換成標準形式時,我們需要用配方法。把因子形式轉換成一般形式時,我們需要把兩個因式相乘並展開。把因子形式轉換成標準形式有特殊的方法。

代表了二次函數的對稱軸,因此兩根的平均數即為

  • 展開後比較後可得

不通過公式:

  • (也作)

而在三種形式中皆出現的為此二次函數的領導係數,決定二次函數圖像開口的大小與方向。

圖像

  • 係數控制了二次函數從頂點的增長(或下降)速度,即二次函數開口方向和大小。越大,開口越小,函數就增長得越快。
  • 係數控制了拋物線的對稱軸(以及頂點的坐標)。
  • 係數控制了拋物線穿過軸時的傾斜度(導數)。
  • 係數控制了拋物線最低點或最高點的高度,它是拋物線與軸的交點。
函數 圖像 函數變化 對稱軸 開口方向 最大(小)值
時,的增大而增大;
時, 的減小而增大

向上
時, 的增大而減小;
時, 的減小而減小

向下
時, 的增大而增大;
時, 的減小而增大

向上
時,的增大而減小;
時, 的減小而減小

向下
時,的增大而增大;
時,的減小而增大
向上
時,的增大而減小;
時,的減小而減小
向下

x 截距

當函數與軸有兩個交點時,設這兩個交點分別為 ,由根與係數的關係得出[d]

頂點

拋物線的頂點是它轉彎的地方,也稱為駐點。如果二次函數是標準形式,則頂點為。用配方法,可以把一般形式化為:[2][3]

因此在一般形式中,拋物線的頂點是:如果二次函數是因子形式,則兩個根的平均數就是頂點的坐標,因此頂點位於時,頂點也是最大值;時,則是最小值。

經過頂點的豎直線又稱為拋物線的對稱軸。

最大值和最小值

導數法

函數的最大值和最小值總是在駐點(又稱臨界點,穩定點)取得。以下的方法是用導數法來推導相同的事實,這種方法的好處是適用於更一般的函數。

設有函數,尋找它的極值時,我們必須先求出它的導數然後,求出的根:因此,值。現在,為了求出,我們把代入 所以,最大值或最小值的坐標為:

配方法

由於實數的二次方皆大於等於0,因此當時,有最大或最小值

二次函數的平方根

二次函數的平方根的圖像要麼是橢圓,要麼是雙曲線。如果,則方程式描述了一條雙曲線。該雙曲線的軸由對應的拋物線的最小值決定。如果最小值是負數,則雙曲線的軸是水平的。如果是正數,則雙曲線的軸是豎直的。如果,則方程式的圖像要麼是一個橢圓,要麼什麼也沒有。如果對應的拋物線的最大值是正數,則它的平方根描述了一個橢圓。如果是負數,則描述了一個空集

二元二次函數

二元二次函數是以下形式的二次多項式:這個函數描述了一個二次曲面。把設為零,則描述了曲面與平面的交線,它是一條圓錐曲線

最小值/最大值

如果,則函數沒有最大值或最小值,其圖像是雙曲拋物面

如果 ,則當時函數具有最小值,當具有最大值。其圖像是橢圓拋物面。

二元二次函數的最大值或最小值在點 取得,其中:如果,則函數沒有最大值或最小值,其圖像是拋物柱面。

如果,則函數在一條直線上取得最大值/最小值。當時取得最大值,時取得最小值。其圖像也是拋物柱面。

註釋

  1. ^ 註:自變數的取值範圍為任何實數
  2. ^ 參見婆羅摩笈多#代數
  3. ^ 參見花拉子米#代數
  4. ^ 參見韋達定理

參考資料

  1. ^ 数学. 北京: 北京師範大學出版社. 2014. ISBN 9787303136933. 
  2. ^ 賈士代. 初中代数41讲. 北京: 首都師範大學出版社. : 49–55. ISBN 7-81039-028-7. 
  3. ^ WebGraphing.com 用配方法解一元二次方程. [2015-08-06]. (原始內容存檔於2015-07-29). 頁面存檔備份,存於網際網路檔案館

參考書目

參見

外部連結