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伴隨勒讓德多項式

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伴隨勒讓德多項式Associated Legendre polynomials,又譯締合勒讓德多項式連帶勒讓德多項式關聯勒讓德多項式[1]數學上對如下形式常微分方程函數序列的稱呼:

該方程是在球坐標系下求解拉普拉斯方程時得到的,在數學和理論物理學中有重要的意義。

l=5時連帶勒讓德多項式的圖像

因上述方程僅當 均為整數且滿足 時,才在區間 [−1, 1] 上有非奇異解,所以通常把 均為整數時方程的解稱為伴隨勒讓德多項式;把 和/或 為一般實數複數時方程的解稱為廣義勒讓德函數generalized Legendre functions)。

為整數時,方程的解即為一般的勒讓德多項式

注意當 m奇數時,連帶勒讓德多項式並不是多項式

正交性

與勒讓德多項式一樣,連帶勒讓德多項式在區間 [-1,1] 上也滿足正交性。

這是因為,與勒讓德方程一樣,連帶勒讓德方程也是施圖姆-劉維爾型的:

正交性的另一種表述如下,它與下面提到的球諧函數有關。

與勒讓德多項式的關係

連帶勒讓德多項式可以由勒讓德多項式求 m 次導得到:

等號右邊的上標 (m) 表示求 m 次導。

與超幾何函數的關係

連帶勒讓德函數(即 l, m 不一定要是整數)可以用高斯超幾何函數表達為:

注意 μ 為正整數 m 時 1-μ伽瑪函數的奇點,此時等號右邊的式子應該理解為當 μ 趨於 m 時的極限。

負數階連帶勒讓德多項式

顯然連帶勒讓德方程在變換 m→-m 下保持不變,傳統上習慣定義負數階連帶勒讓德多項式為:

容易驗證,這樣定義的連帶勒讓德多項式能夠使得上面的正交關係可以推廣到 m 為負數的情況。

注意在個別文獻(如上面的圖,以及球諧函數一文)中會直接取

本文不採用這種定義。

與球諧函數的關係

球諧函數是球坐標下三維空間拉普拉斯方程的角度部分的解,構成一組完備的基組,有著重要的意義。

採用本文中定義的連帶勒讓德多項式的表達式,球諧函數可以表達為:

由連帶勒讓德多項式的正交關係可以直接得到球諧函數的正交關係:

式中 dΩ立體角元。

參考文獻

  1. ^ 吳崇試. 16. 数学物理方法(第二版). 北京大學出版社. [2003]. ISBN 9787301068199.