在古典力學裏,作用量-角度坐標(action-angle coordinate)是一組正則坐標,通常在解析可積分系統 (Integrable system) 時,有很大的用處。應用作用量-角度坐標的方法,不需要先解析運動方程式,就能夠求得振動或旋轉的頻率。作用量-角度坐標主要用於完全可分的 哈密頓-亞可比方程式(哈密頓量顯性地不含時間,也就是說,能量保持恆定)。作用量-角度變數可以用來定義一個環面不變量。因為,保持作用量的不變設定了環的曲面,而角度是環面的另外一個坐標,粒子依照著角度,捲繞於環面。
在量子力學早期,波動力學發展成功之前,波耳-索末菲量子化條件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力學的利器。此條件闡明,作用量必須是普朗克常數常數的整數倍。愛因斯坦對於 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 與 非可積分系統 量子化的困難,都是以 作用量-角度坐標的環面不變量 來表達。
在哈密頓力學裏,作用量-角度坐標也可以應用於微擾理論,特別是在決定緩漸不變量。關於一個自由度很小的動力系統的非線形微擾,混沌理論研究的最早的一個結果是 KAM theorem 。這定理闡明,對於微小微擾,環面不變量是穩定的。
作用量-角度坐標,對於戶田晶格 (Toda field theory) 的解析,對於 Lax pairs 的定義,更廣義地,對於一個系統同光譜 (isospectral) 演化的構想,都佔有關鍵地位。
導引
保守的哈密頓量系統
- 主條目:哈密頓特徵函數
假設,在一個物理系統裏,哈密頓量是保守的,也就是說,哈密頓量
不顯含時間;
;
其中,
是運動常數,
是廣義坐標,
是廣義動量。
採用哈密頓特徵函數
為正則變換的第二型生成函數。變換方程式為
,
;
其中,
是新廣義坐標,
是新廣義動量。
新哈密頓量
與舊哈密頓量
相等:
。
新廣義動量的哈密頓方程式為
。
所以,新廣義動量是常數
:
,
假設,這物理系統的哈密頓-亞可比方程式
為完全可分的,則哈密頓特徵函數
可以分離為
個函數
:
。
哈密頓特徵函數與新舊正則坐標的關係是
,
。
週期性運動
假若,粒子的運動是週期性運動,最常見的例子如振動或旋轉都是週期性運動,則可以設計一個新正則坐標-作用量-角度坐標
。定義作用量為
;
這閉路徑積分的路徑是粒子運動一週期的路徑。
由於廣義動量
只跟
、
有關,經過積分,作用量
只跟
有關。所以,作用量向量
只是個常數向量。哈密頓特徵函數可以表達為
。
雖然是同樣的物理量,函數的參數不同,形式也不同。
定義角度
為
。
由於所有的廣義坐標
都相互獨立,所有的廣義動量
也都相互獨立,所以,所有的作用量
都相互獨立,作用量-角度坐標可以正確的用為正則坐標。這樣,哈密頓特徵函數可以用正則坐標作用量-角度坐標表達為
。
新哈密頓量
與舊哈密頓量
相等:
。
因為作用量
只是常數向量,所以,
。
新哈密頓量
,只跟作用量
有關,跟角度
無關。
角度
隨時間的導數
,可以用哈密頓方程式決定:
。
每一個
都是常數,所以,
也是常數:
;
其中,
是積分常數。
運動頻率
假設原本廣義坐標
的振蕩或旋轉的運動週期為
,則其對應的角度變數
的改變是
。進一步了解物理量
的性質,猜想
與廣義坐標
週期性運動的頻率有關。可是,因為角度
是廣義座標
與作用量
的函數,無法確定前面的猜想。為了證實這論點,計算週期
:
。
新哈密頓量
與舊哈密頓量
相等。所以,
。
假若
是個循環坐標,那麼,其共軛動量
必是個常數,可以從作用量的定義積分內提出來:
;
其中,
是
運動一週期的值。
這樣,
。
代入週期
的公式,
。
肯定地,
是廣義坐標
的頻率。
假若
不是循環坐標,則不能將其共軛動量
從作用量的定義積分內提出來,必須採用另外一個方法計算。從角度的定義,可以察覺角度
跟廣義坐標
、作用量
有關:
。
保持作用量不變,角度的虛位移
是:
。
在一個週期性物理系統裏,每一個廣義坐標
都有它運動的週期
。假若,其中有任何廣義坐標的週期與別的廣義坐標的週期不相同,則稱此物理系統為多重週期性物理系統。假若,兩個廣義坐標的週期不同
、
。在做閉路徑積分的時候,就必須使用使用一個新的週期
,讓閉路徑積分能夠開始與結束於同一點.假若,兩個週期的比例是個有理數,則稱這兩個週期互相可通約的。設定新週期為
;
其中,
、
、
、
,都是正值的整數。
同樣地,在多重週期性物理系統裏,假若,每一個廣義坐標的週期與其它的廣義坐標的週期都是互相可通約的,則此系統是完全可通約的,稱此系統為完全可通約系統。那麼,新週期
為
;
其中,
、
,都是正值的整數。
經過一個週期
,角度
的變化是:
。
由於作用量
是個常數,可以將它從積分內提出:
。
所以,頻率是
。
假若,有任何兩個互相不可通約的廣義坐標
、
,其週期
、
的比例是無理數。那麼,
不可能與
同時回到同一點。雖然如此,有理論證明,
、
仍舊分別是
、
的頻率。
傅立葉級數
角度
是一組互相獨立的廣義坐標。所以,一般而言,每一個廣義坐標
可以用角度的傅立葉級數表示:
;
其中,
是傅立葉級數係數。
在大多數實際案例,物理系統的哈密頓-亞可比方程式
為完全可分的。那麼,一個原本廣義坐標
只需用其相應的角度變數的傅立葉級數表示:
。
基本規則總結
一般程序有三個步驟:
- 計算作用量變數
。
- 用作用量變數表示原本哈密頓量。
- 取哈密頓量關於作用量變數的導數。這樣,可以求得頻率
。
簡併度
在有些案例,兩個不同的廣義坐標會有相同的頻率;也就是說,
for
。稱這些案例的運動狀態為簡併。
簡併的運動給出暗示,很可能有更多的保守量。例如,克卜勒問題的頻率是簡併的,這對應於拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性。
簡併的運動還給出暗示,在多於一種坐標系統裏,哈密頓-亞可比方程式會是完全可分的。例如,克卜勒問題在球坐標系與拋物線坐標系,都是完全可分的。
參考文獻
- H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.