線性代數
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![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
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向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
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數學上,克羅內克積(英語:Kronecker product)是兩個任意大小的矩陣間的運算,表示為⊗。簡單地說,就是將前一個矩陣的每個元素乘上後一個完整的矩陣。克羅內克積是外積從向量到矩陣的推廣,也是張量積在標準基下的矩陣表示。
儘管沒有明顯證據證明德國數學家利奧波德·克羅內克是第一個定義並使用這一運算的人,克羅內克積還是以其名字命名。在歷史上,克羅內克積曾以Johann Georg Zehfuss名字命名為Zehfuss矩陣。
定義
如果A是一個 m × n 的矩陣,而B是一個 p × q 的矩陣,克羅內克積
則是一個 mp × nq 的分塊矩陣
![{\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d988a3517aac77a5dd5626582d74803852341dca)
更具體地可表示為
![{\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22}&\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1}b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1}b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_{pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2af3edbee3ac40f8dabe74c179ddde906b1b195)
我們可以更緊湊地寫為
例子
.
特性
雙線性和結合律
克羅內克積是張量積的特殊形式,因此滿足雙線性與結合律:
![{\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C\qquad {\mbox{(if }}B{\mbox{ and }}C{\mbox{ have the same size)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843b04dd252c8d30a5bf5779c51db6765939b719)
![{\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C\qquad {\mbox{(if }}A{\mbox{ and }}B{\mbox{ have the same size)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f2c0f24686ed8aa6629f99cdebb9a755341716)
![{\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7363aeb0528c315411eb17f25695ef9a3aa75436)
![{\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa7fa242808fa6c3add667a9da9e55de122b8339)
其中,A, B 和 C 是矩陣,而 k 是常數。
克羅內克積不符合交換律:通常,A ⊗ B 不同於 B ⊗ A。
A ⊗ B和B ⊗ A是排列等價的,也就是說,存在排列矩陣P和Q,使得
![{\displaystyle A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ffc00b74c134b2d6f94610ffe87d9fd749b406)
如果A和B是方塊矩陣,則A ⊗ B和B ⊗ A甚至是排列相似的,也就是說,我們可以取P = QT。
混合乘積性質
如果A、B、C和D是四個矩陣,且矩陣乘積AC和BD存在,那麼:
![{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=\mathbf {AC} \otimes \mathbf {BD} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4311b6d84711d0e6cdedf4f59990c3c688a72557)
這個性質稱為「混合乘積性質」,因為它混合了通常的矩陣乘積和克羅內克積。於是可以推出,A
B是可逆的若且唯若A和B是可逆的,其逆矩陣為:
![{\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{-1}=\mathbf {A} ^{-1}\otimes \mathbf {B} ^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c48e625fe0276fc8275fc3a3a6f3c1d4d9439d6)
克羅內克和
如果A是n × n矩陣,B是m × m矩陣,
表示k × k單位矩陣,那麼我們可以定義克羅內克和
為:
![{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {A} \otimes \mathbf {I} _{m}+\mathbf {I} _{n}\otimes \mathbf {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda9b519e5de4afaf84481d236a2107ec1cad337)
譜
假設A和B分別是大小為n和q的方塊矩陣。設λ1,……,λn為A的特徵值,μ1,……,μq為B的特徵值。那麼A
B的特徵值為:
![{\displaystyle \lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad62df2841b8d5788c8c2a10856d9496eda51f8)
於是可以推出,兩個矩陣的克羅內克積的跡和行列式為:
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} \mathbf {A} \,\operatorname {tr} \mathbf {B} \quad {\mbox{and}}\quad \det(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=(\det \mathbf {A} )^{q}(\det \mathbf {B} )^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3a82b234609909eb354c64b08716dae6ee8357)
奇異值
如果A和B是長方矩陣,那麼我們可以考慮它們的奇異值。假設A有rA個非零的奇異值,它們是:
![{\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea81a09cf2f1d3eda4d9927ddc4045b44f00adf9)
類似地,設B的非零奇異值為:
![{\displaystyle \sigma _{\mathbf {B} ,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfd36e0c82f87a0672335681b0c4032076e6939)
那麼克羅內克積A
B有rArB個非零奇異值,它們是:
![{\displaystyle \sigma _{\mathbf {A} ,i}\sigma _{\mathbf {B} ,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{\mathbf {A} },\,j=1,\ldots ,r_{\mathbf {B} }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb49e17a6dff960b2c731f51acf689ee480b0f4)
由於一個矩陣的秩等於非零奇異值的數目,因此我們有:
![{\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {rank} \mathbf {A} \,\operatorname {rank} \mathbf {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0701091c48d5bbdaf0683f76024e9c02ebe5e908)
與抽象張量積的關係
矩陣的克羅內克積對應於線性映射的抽象張量積。特別地,如果向量空間V、W、X和Y分別具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye},且矩陣A和B分別在恰當的基中表示線性轉換S : V → X和T : W → Y,那麼矩陣A ⊗ B表示兩個映射的張量積S ⊗ T : V ⊗ W → X ⊗ Y,關於V ⊗ W的基{v1 ⊗ w1, v1 ⊗ w2, ... , v2 ⊗ w1, ... , vm ⊗ wn}和X ⊗ Y的類似基。[1]
與圖的乘積的關係
兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克積是它們的張量積圖的鄰接矩陣。兩個圖的鄰接矩陣的克羅內克和,則是它們的笛卡兒積圖的鄰接矩陣。參見[2]第96個練習的答案。
轉置
克羅內克積轉置運算符合分配律:
![{\displaystyle (A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f456ee0c2675fbaacafaaddfc9e5a5d90e477450)
矩陣方程式
克羅內克積可以用來為一些矩陣方程式得出方便的表示法。例如,考慮方程式AXB = C,其中A、B和C是給定的矩陣,X是未知的矩陣。我們可以把這個方程式重寫為
![{\displaystyle (B^{T}\otimes A)\,\operatorname {vec} (X)=\operatorname {vec} (AXB)=\operatorname {vec} (C).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd090b644bde3b25c38d83e11726b438349718c1)
這樣,從克羅內克積的性質可以推出,方程式AXB = C具有唯一的解,若且唯若A和B是非奇異矩陣。(Horn & Johnson 1991,Lemma 4.3.1).
在這裡,vec(X)表示矩陣X的向量化,它是把X的所有列堆起來所形成的列向量。
如果把X的行堆起來,形成列向量x,則
也可以寫為
(Jain 1989,2.8 block Matrices and Kronecker Products)。
參考文獻
- ^ Pages 401–402 of
- ^ D. E. Knuth:
"Pre-Fascicle 0a: Introduction to Combinatorial Algorithms" (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), zeroth printing (revision 2), to appear as part of D.E. Knuth: The Art of Computer Programming Vol. 4A
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 .
- Jain, Anil K., Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, 1989, ISBN 0-13-336165-9 .
外部連結