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雙曲面模型

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紅色圓孤為龐加萊圓盤模型上的測地線,投影到綠色雙曲面模型上的棕色測地線。

幾何學中,雙曲面模型hyperboloid model),也稱為閔可夫斯基模型Minkowski model)或洛倫茲模型Lorentz model),分別冠以赫爾曼·閔可夫斯基亨德里克·洛倫茲的名字。是 n-維雙曲幾何的一個模型,其中點由 (n+1)-維閔可夫斯基空間中雙葉雙曲面的向前葉 S+ 中的點表示,而 m-維平面由閔可夫斯基空間中的 (m+1)-維平面與 S+ 的交集表示。雙曲距離函數在這個模型中有一個簡單的表達式。n-維雙曲空間的雙曲面模型與凱萊-克萊因模型密切相關:兩者都是射影模型,它們的等距群射影群的一個子群。

閔可夫斯基二次型

如果 (x0, x1, …, xn) 是 (n+1)-維坐標空間 Rn+1 中一個向量,閔可夫斯基二次型定義為

向量 vRn+1 使得 Q(v) = 1 構成一個 n-維雙曲面 S,由兩個連通分支(或說葉)組成:向前或未來葉 S+,其中 x0>0 與向後葉或過去葉 S,其中 x0<0。n-維雙曲面模型中的點是向前葉 S+ 上的點。

閔可夫斯基雙線性形式 B 是閔可夫斯基二次型 Q極化

具體地

S+ 中兩點 uv雙曲距離由公式

給出。

等距

不定正交群 O(1,n),也稱為 (n+1)-維洛倫茲群,是保持閔可夫斯基雙線性形式的 (n+1)×(n+1) 矩陣形成的李群。換種語言說,它是閔可夫斯基空間的線性等距群。特別地,這個群保持雙曲面 SO(1,n) 保持第一個坐標的符號的子群是正時洛倫茲群,記作 O+(1,n)。它的行列式為 1 矩陣的子群 SO+(1,n) 是一個 n(n+1)/2 維連通李群,通過線性自同構作用在 S+ 上且保持雙曲距離。這個作用是傳遞的,向量 (1,0,…,0) 的穩定子由如下形式矩陣組成

這裡 A 屬於緊特殊正交群 SO(n)(推廣了 n=3 的旋轉群)。從而 n-維雙曲空間是一個齊性空間以及秩為 1 的黎曼對稱空間

事實上,群 SO+(1,n) 是 n-維雙曲空間保持定向的整個等距群。

相關條目

參考文獻