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同構

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Fifth roots of unity
Rotations of a pentagon
5次單位根五邊形的對稱群是同構的。

同構(英語:Isomorphism)是一種線性轉換,當T:V → W 是可逆時,這種線性轉換就稱之為同構。

抽象代數中,同構指的是一個保持結構的對射。在更一般的範疇論語言中,同構指的是一個態射,且存在另一個態射,使得兩者的複合是一個恆等態射。

正式的表述是:同構是在數學物件之間定義的一類映射,它能揭示出在這些物件的屬性或者操作之間存在的關係。若兩個數學結構之間存在同構映射,那麼這兩個結構叫做是同構的。一般來說,如果忽略掉同構的物件的屬性或操作的具體定義,單從結構上講,同構的物件是完全等價的,也就是說,如果我們定義一個關係∼ ,使得只要V和W同構,那麼 V ∼ W ,可知 ∼ 是一個等價關係

舉例

對數和指數函數

對數

指數函數

複數及其共軛函數

因為中國剩餘定理,若m, n是互質的,則

引入同構的目的

在數學中研究同構的主要目的是為了把數學理論應用於不同的領域。如果兩個結構是同構的,那麼其上的物件會有相似的屬性和操作,對某個結構成立的命題在另一個結構上也就成立。因此,如果在某個數學領域發現了一個物件結構同構於某個結構,且對於該結構已經證明了很多定理,那麼這些定理馬上就可以應用到該領域。如果某些數學方法可以用於該結構,那麼這些方法也可以用於新領域的結構。這就使得理解和處理該物件結構變得容易,並往往可以讓數學家對該領域有更深刻的理解。

相關條目

參考資料

延伸閱讀

外部連結